Simulation numérique d'une fréquence sur un grand nombre d'épreuves

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Simuler une probabilité p : tirer des nombres dans [0\ ;\ 1], compter ceux qui sont inférieurs à p. • La fréquence simulée succèstirages estime la probabilité à une fluctuation près. • Le comptage par lots de 100 rend la simulation lisible et met en évidence la fluctuation. • Une simulation donne un ordre de grandeur, jamais une preuve : il faut plusieurs centaines de tirages.

Le cours

1. À quoi sert une simulation Une simulation remplace des épreuves réelles par des tirages de nombres au hasard. Elle sert quand on ne peut pas observer assez d'épreuves pour estimer une probabilité, ou quand on veut vérifier l'ordre de grandeur d'un résultat avant de décider. • On génère un nombre au hasard dans l'intervalle [0\ ;\ 1], et on le compare à la probabilité testée. • Nombre obtenu inférieur à p : l'épreuve est un succès. Nombre supérieur : l'épreuve est un échec. • On répète l'opération un grand nombre de fois, puis on calcule la fréquence des succès. 2. La méthode en quatre temps On procède toujours de la même façon, avec une calculatrice, un tableur ou un programme : premièrement, fixer la probabilité à tester ; deuxièmement, tirer des nombres au hasard ; troisièmement, compter les succès ; quatrièmement, diviser le nombre de succès par le nombre de tirages. • Test d'un taux de retour de 20\ \% : on retient les nombres inférieurs à 0,20. • Comptage par lots de 100 : c'est le comptage par lots qui rend la simulation lisible. • Bilan : 199 succès sur 1\ 000 tirages donnent une fréquence simulée de 0,199. Groupe de lots de 100 commandesRetours dans chaque lotTotal des retoursFréquence du groupe Lots 1 à 517, 21, 19, 23, 1898 sur 5000,196 Lots 6 à 1019, 22, 16, 21, 23101 sur 5000,202 Ensemble des dix lotsde 16 à 23 retours199 sur 1\ 0000,199 3. Piège : une seule simulation ne prouve rien Sur les dix lots ci-dessus, le premier a donné 17 retours et le quatrième 23 : l'écart entre deux lots vaut 6 points alors que la probabilité testée est la même partout. Une conclusion tirée d'un seul lot serait une conclusion sur le hasard du tirage, pas sur le phénomène commercial. Second piège, le plus coûteux en pratique : mal écrire le test dans un tableur. Si l'on tire un entier au hasard entre 1 et 100 et qu'on compte un retour lorsqu'il est inférieur à 0,08, le test est toujours faux : la fréquence simulée vaut 0\ \% et la simulation ne simule plus rien. Avec des entiers de 1 à 100, il faut comparer à 8. 4. Ce que la simulation permet de conclure Une simulation fournit un ordre de grandeur et une fourchette, jamais une preuve. Elle est utile pour deux tâches : estimer une probabilité qu'on ne sait pas calculer, et vérifier qu'un résultat obtenu par le calcul n'est pas aberrant. • Estimation : la fréquence simulée donne une valeur approchée et l'amplitude de la fluctuation. • Vérification : si le calcul donne 0,8096, la simulation doit fournir une fréquence proche de 81\ \%. • Formation : la simulation montre que la fluctuation diminue quand on augmente le nombre de tirages.

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