Prise de décision : recommander ou refuser une option commerciale selon sa probabilité

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• Gain moyen espéré : E = p gain - (1 - p) perte, gain net de la prime et perte prime comprise. • Seuil d'acceptation : E > 0 équivaut à p > pertegain + perte. • On retient une option si sa probabilité de réussite dépasse son seuil, on la refuse sinon ; on ne classe jamais des options par leur seul gain brut. • Une recommandation s'écrit : probabilité, seuil, conclusion, condition de surveillance.

Le cours

1. Une décision se traduit par une probabilité seuil Le revendeur Norval hésite à souscrire une option commerciale. Dans chaque cas, le gain possible et la perte possible sont connus en euros. La décision ne consiste pas à comparer des euros, car ils ne sont pas certains, mais à comparer la probabilité de réussite à un seuil calculé à partir des montants. • Gain net de l'option, prime déduite : 8\ 000 - 1\ 200 = 6\ 800\ €. • Perte en cas d'échec, prime comprise : 3\ 200\ €. • Gain moyen espéré, avec p la probabilité de réussite : E = 6\ 800p - 3\ 200(1 - p) = 10\ 000p - 3\ 200. • L'option est rentable en moyenne si E > 0, c'est-à-dire si p > pertegain + perte = 3\ 200/10\ 000 = 0,32 : c'est le seuil d'acceptation. 2. La procédure de décision en quatre étapes Quatre étapes suffisent, quelle que soit l'option étudiée : premièrement, modéliser la réussite par un événement dont on calcule la probabilité ; deuxièmement, déterminer le gain net et la perte ; troisièmement, calculer le seuil ; quatrièmement, comparer la probabilité au seuil et rédiger la recommandation. • Probabilité de réussite : P(réussite) = 0,78 0,66 = 0,5148. • Comparaison : 0,5148 > 0,32, l'option est recommandée. • Formulation attendue : « la probabilité de succès dépasse le seuil de 32\ \%, l'option est acceptable ». Option commercialeGain netPerteSeuilProbabilité de réussiteDécision Garantie de reprise des invendus6\ 800\ €3\ 200\ €32\ \%51,5\ \%Retenue Ouverture d'un canal en ligne7\ 500\ €11\ 000\ €59,5\ \%44\ \%Refusée Garantie de reprise, marché dégradé6\ 800\ €3\ 200\ €32\ \%30\ \%Refusée 3. Pièges de comparaison Premier piège : comparer deux options par leur gain brut. L'option au gain le plus élevé, 7\ 500\ €, est ici celle qui expose à la perte la plus lourde, 11\ 000\ € ; son seuil de 59,5\ \% la rend inacceptable avec 44\ \% de chances de succès. Second piège : oublier la prime, en prenant un gain de 8\ 000\ € et une perte de 2\ 000\ € : le seuil tombe à 2\ 000/10\ 000 = 20\ \% et favorise l'option artificiellement. Troisième piège : inverser la formule. Le seuil est la part de la perte dans « gain + perte » ; 6\ 800/10\ 000 = 68\ \% serait un seuil faux, qui ferait refuser à tort une option rentable en moyenne. 4. Une recommandation se rédige et se justifie Une recommandation en gestion n'est pas un mot : elle énonce le chiffre de la probabilité, le chiffre du seuil, la conclusion, et la condition à vérifier. Cette structure permet au décideur de lire la conclusion et d'en discuter les hypothèses. • Formulation complète : « probabilité 51,5\ \%, seuil 32\ \% : l'option est recommandée, sous réserve que la ponctualité du fournisseur reste d'au moins 41\ \% ». • Condition de surveillance : calculer le taux qui ferait basculer la décision. • Le refus se justifie aussi : « probabilité 30\ \% inférieure au seuil de 32\ \% : l'option est refusée ».

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