Probabilité conditionnelle et événement dépendant

1ère Technologique · Mathématiques STMG 1ère

À retenir

• P_A(B) = P(A B)/P(A) avec P(A) 0 : la probabilité est calculée dans un contexte précisé. • A et B sont indépendants si et seulement si P_A(B) = P(B). • Un taux global est une moyenne pondérée des taux conditionnels par le poids de chaque situation. • P_A(B) et P_B(A) ne se confondent pas : changer de conditionnement change le dénominateur.

Le cours

1. Probabiliser en tenant compte du contexte Un chiffre global n'est pas toujours le bon chiffre. Le taux d'impayé d'une concession automobile n'est pas le même selon le type de financement : on ne peut pas l'appliquer indifféremment à un contrat de location longue durée et à un achat au comptant. On a besoin d'une probabilité conditionnelle. • P_A(B) se lit « la probabilité que B se réalise, sachant que A s'est réalisé ». • Par définition : P_A(B) = P(A B)/P(A) avec P(A) 0. • Le taux global est une moyenne pondérée des taux conditionnels : chacun est pondéré par le poids de son contexte. Mode de financementPart des contratsImpayé sachant ce modeContribution à l'impayé Location longue durée12\ \%8\ \%0,96\ \% Achat au comptant88\ \%2\ \%1,76\ \% Total100\ \%2,72\ \% (calculé)2,72\ \% 2. Dépendant ou indépendant : le test en une ligne Deux événements sont indépendants si et seulement si P_A(B) = P(B). Sinon ils sont dépendants : l'information apportée par A modifie la probabilité de B. • Sur la concession, avec L « location » et I « impayé » : P_L(I) = 0,08 contre un taux global P(I) = 0,0272. • 0,08 0,0272 : le mode de financement et l'impayé sont donc dépendants. • Égalité des deux valeurs : on pourrait annoncer un seul taux pour toute la concession. 3. Piège : inverser le conditionnement « 8\ \% des locations sont impayées » et « 8\ \% des impayés viennent de locations » sont deux affirmations différentes. La seconde vaut en réalité 0,0096 / 0,0272 0,353, soit 35,3\ \%. Écrire la phrase sans vérifier le sens du conditionnement est l'erreur la plus fréquente de ce chapitre. La deuxième valeur est plus grande que la première parce qu'on a changé la population de référence : on est passé des contrats de location aux impayés. 4. Retrouver une information manquante La définition des probabilités conditionnelles se retourne : si l'on connaît la probabilité de l'intersection et celle du contexte, on retrouve le taux conditionnel. C'est l'outil des problèmes inverses de gestion, où l'on cherche la valeur qui rendrait acceptable un objectif fixé. • Connaître P(A B) et P(A) donne P_A(B) = P(A B)/P(A). • Connaître P(A B) et P_A(B) donne P(A) = P(A B)/P_A(B). • Imposer une valeur à P(A B) revient à poser une inégalité sur le taux conditionnel.

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