Nombre dérivé et tangente à une courbe de classe de Première

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• f'(a) est la limite du quotient f\,(a+h)-f\,(a)/h quand h tend vers 0, et le coefficient directeur de la tangente en a. • Une tangente se lit comme une pente : ici des euros de chiffre d'affaires par euro de prix. • Un pas h plus petit donne une estimation plus fidèle : h = 0,1 donne -306 pour une pente exacte de -300. • La corde donne une moyenne sur l'intervalle, la tangente donne l'instantané : les deux ne se confondent que pour une droite.

Le cours

1. Un nombre dérivé est une pente, pas une valeur Le nombre dérivé de f en a, noté f'(a), est la limite, quand h tend vers 0, du taux de variation f\,(a+h)-f\,(a)/h. Géométriquement, f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse a. • Sur un graphique « prix de vente en abscisse, euros de chiffre d'affaires en ordonnée », f'(p) s'exprime en euros de chiffre d'affaires par euro de prix. • La tangente au point d'abscisse a a pour équation y = f\,(a) + f'\,(a)\,(x-a) : pour un petit écart h, elle donne l'estimation f\,(a+h) f\,(a) + h f'(a). • Une dérivée est un nombre : elle s'évalue en un point précis, avec son unité, jamais « pour toute la courbe ». 2. Estimer une pente par un quotient, avec un pas petit Pour approcher f'(a) sans formule, on encadre a par deux prix voisins et on fait le quotient des accroissements. Plus le pas h est petit, plus l'estimation est proche de la pente exacte de la tangente. • Imprimerie Nord : R\,(p) = p\,(1\,500 - 60\,p), soit 9\,000\ € de chiffre d'affaires pour un prix de 15\ €. • Avec h = 0,1 : R\,(15,1) = 8\,969,4, donc quotient =-306, alors que la pente exacte vaut 1\,500 - 120 15 = -300. • Avec h = 3 : R\,(18) = 7\,560, donc quotient -480 : l'estimation est fausse, la pente a beaucoup diminué entre 15 et 18\ €. Pas h utiliséValeur de R\,(15+h)Quotient obtenuLecture 0,018\,996,99-300,6Quasi exact 0,18\,969,4-306Assez bon 18\,640-360Trop grossier 37\,560-480Sans signification 3. Piège : la tangente et la corde ne donnent pas la même pente La corde qui joint deux points de la courbe donne une pente moyenne ; la tangente donne la pente instantanée. Les deux ne coïncident que si la courbe est une droite. Pour la torréfaction des Hauts, R\,(4) = 6\,400\ € et R\,(6) = 8\,400\ € : la corde a pour pente 1\,000, alors que la tangente en 4\ € a pour pente R'(4) = 2\,000 - 200 4 = 1\,200. Une hausse de prix de 2\ € rapporte donc réellement 2\,000\ € de chiffre d'affaires supplémentaire, et non les 2\,400\ € que laisserait prévoir la tangente. Ici, la courbe est tournée vers le bas et la tangente passe au-dessus d'elle : l'estimation par la tangente est un majorant, pas une égalité.

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