Condition d'optimum : recette marginale égale au coût marginal

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• '(q) = R'(q) - C'(q) : le résultat est maximal quand la recette marginale égale le coût marginal. • Torréfaction des Hauts : R'(q) = 20 - 0,02\,q et C'(q) = 4 + 0,02\,q, donc 20 - 0,02\,q = 4 + 0,02\,q q = 400 sacs. • Le prix optimal est alors p = 16\ €, avec un résultat de 1\,700\ €. • Contrôle en prix : R'(16) = CT'(16) = -1\,200 euros par euro de prix. • Cette condition est différente de R = CT, qui définit le seuil de rentabilité.

Le cours

1. Traduire l'optimum du résultat par une égalité de grandeurs marginales Le résultat d'une entreprise est = R - C : recette moins coût total. En fonction de la quantité, sa dérivée est '(q) = R'(q) - C'(q), et le résultat est maximal lorsque cette différence s'annule en changeant de signe. On en déduit la condition d'optimum : la recette marginale R'(q) est égale au coût marginal C'(q). '(q) = 0 R'(q) = C'(q) • Torréfaction des Hauts : R\,(q) = 20\,q - 0,01\,q^2 et C\,(q) = 1\,500 + 4\,q + 0,01\,q^2 donnent R'(q) = 20 - 0,02\,q et C'(q) = 4 + 0,02\,q. • En fonction du prix, la même condition s'écrit '(p) = 0 R'(p) = CT'(p) : on dérive alors par rapport au prix au lieu de la quantité. • Unités : recette et coût marginaux en euros par sac ; R'(p) et CT'(p) en euros par euro de prix. 2. Méthode : deux dérivées, une égalité, un prix On écrit les deux fonctions dans la même variable, on pose l'égalité des deux dérivées, on résout, puis on retrouve le prix par la demande et on vérifie le résultat. • 20 - 0,02\,q = 4 + 0,02\,q 16 = 0,04\,q q = 400 sacs. • Le prix associé vaut p = 20 - 0,01 400 = 16\ €. • Contrôle en prix : R'(16) = -1\,200 et CT'(16) = -1\,200 : les deux dérivées coïncident. • Résultat : = 6\,400 - 4\,700 = 1\,700\ €. 0 200 400 600 800 0 3 000 6 000 9 000 12 000 euros quantité q (sacs) R(q) : recette C(q) : coût total q = 400 sacs, p = 16 euros pentes égales 3. Piège : optimum et seuil de rentabilité ne se confondent pas La condition recette marginale égale au coût marginal n'est pas la condition recette égale au coût : la première fixe l'optimum, la seconde donne seulement le seuil de rentabilité, où le résultat est nul. Les confondre revient à optimiser une entreprise qui ne gagne rien. Second piège : un optimum existe toujours, mais il peut être négatif. Une association dont la meilleure recette ne couvre pas ses coûts a bien un point critique, au prix auquel son résultat est le moins mauvais : la décision économique reste de ne pas lancer l'activité. Enfin, ne jamais confondre coût marginal C'(q) et coût moyen C\,(q)/q.

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