Pente décroissante du résultat et nature de l'optimum

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• '(q) est la pente du résultat : si elle diminue et passe du positif au négatif en q_0, le résultat est maximal en q_0. • Torréfaction des Hauts : '(q) = 16 - 0,04\,q, affine décroissante, nulle en q = 400 : maximum de 1\,700\ €. • Pente de +8 en 200 sacs, 0 en 400, -8 en 600 : le résultat monte, plafonne puis redescend. • Une pente décroissante mais encore positive signifie que le résultat augmente toujours.

Le cours

1. Une pente qui diminue et change de signe désigne un maximum La dérivée '(q) est la pente de la courbe du résultat. Si cette pente diminue quand q augmente et passe du positif au négatif en un point, le résultat monte puis descend : ce point est un maximum. Si la pente passe au contraire du négatif au positif, c'est un minimum. • Torréfaction des Hauts : \,(q) = 16\,q - 0,02\,q^2 - 1\,500, donc '(q) = 16 - 0,04\,q. • ' est affine de coefficient -0,04 • '(400) = 0, avec ' positive avant 400 et négative après : le résultat est maximal en 400 sacs, \,(400) = 1\,700\ €. • Un résultat du second degré dont le coefficient de q^2 est négatif a toujours une pente décroissante : il n'a qu'un seul maximum. 2. Méthode : suivre la pente dans un tableau On calcule ' pour quelques quantités régulièrement espacées. Une pente qui baisse et change de signe signale un maximum ; le zéro de ' donne la quantité optimale. Sur la figure, la tangente monte en 200 sacs (pente +8) et descend en 600 sacs (pente -8). Quantité qPente '(q)Résultat \,(q)Lecture 2008900\ €Le résultat monte 30041\,500\ €Il monte moins vite 40001\,700\ €Sommet 500-41\,500\ €Il descend 600-8900\ €Il descend plus vite 0 200 400 600 800 1 000 -500 -1 500 résultat (euros) quantité q (sacs) pente +8 pente −8 maximum 3. Piège : une pente qui diminue n'est pas encore nulle Une pente décroissante ne suffit pas : il faut aussi qu'elle s'annule en changeant de signe. En fonction du prix, la torréfaction a '(p) = 6\,400 - 400\,p, pente décroissante partout ; pourtant en 10\ €, '(10) = 2\,400 > 0 : le résultat y augmente encore fortement, et 10\ € n'est pas optimal. L'optimum est en 16\ €, où '(16) = 0. Second piège : pour un résultat du troisième degré, la pente ' est du second degré et peut augmenter puis diminuer. Il faut alors étudier le signe de ' sur tout l'intervalle : si la pente reste négative partout, il n'y a aucun maximum intérieur et le meilleur choix est une borne.

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