Dérivée d'un chiffre d'affaires polynôme de classe de Première

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• On dérive terme à terme : (x^3)' = 3\,x^2, (x^2)' = 2\,x, (x)' = 1, et une constante a pour dérivée 0. • Un produit p q\,(p) se développe avant d'être dérivé : la dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. • R\,(p) = 2\,000\,p - 100\,p^2 donne R'(p) = 2\,000 - 200\,p. • R\,(p) = 400\,p - 2\,p^2 - 0,06\,p^3 donne R'(p) = 400 - 4\,p - 0,18\,p^2.

Le cours

1. Les dérivées à connaître depuis la Première Pour dériver une fonction polynôme de degré 2 ou 3, on dérive terme à terme à l'aide de quelques formules, en conservant les coefficients. • Une constante k a pour dérivée 0 ; (x)' = 1 ; (x^2)' = 2\,x ; (x^3)' = 3\,x^2. • Les coefficients se conservent : (a\,x^3 + b\,x^2 + c\,x + d)' = 3\,a\,x^2 + 2\,b\,x + c. • Exemple : f\,(x) = -0,06\,x^3 - 2\,x^2 + 400\,x donne f'(x) = -0,18\,x^2 - 4\,x + 400. 2. Méthode : développer le chiffre d'affaires, puis dériver Un chiffre d'affaires s'écrit souvent comme un produit R\,(p) = p q\,(p). On ne dérive pas ce produit facteur par facteur : on le développe d'abord pour obtenir un polynôme, puis on dérive terme à terme. 1. Torréfaction des Hauts : R\,(p) = p\,(2\,000 - 100\,p) = 2\,000\,p - 100\,p^2. 2. Dérivée terme à terme : R'(p) = 2\,000 - 200\,p, donc R'(16) = 2\,000 - 3\,200 = -1\,200. 3. Avec trois facteurs : R\,(p) = p\,(400 - 6\,p)(1 + 0,01\,p) = 400\,p - 2\,p^2 - 0,06\,p^3, d'où R'(p) = 400 - 4\,p - 0,18\,p^2. 4. Contrôle : le quotient R\,(p+h) - R\,(p)/h avec h = 0,1 doit donner une valeur voisine de R'(p). 3. Piège : dériver chaque facteur séparément La dérivée d'un produit n'est pas le produit des dérivées. Pour R\,(p) = p\,(2\,000 - 100\,p), multiplier (p)' = 1 par (2\,000 - 100\,p)' = -100 donne la constante -100 : c'est faux, car la vraie dérivée 2\,000 - 200\,p dépend du prix et vaut -1\,200 en 16\ €. Autre piège : une erreur de signe en développant. Dans (400\,p - 6\,p^2)(1 + 0,01\,p), le terme en p^2 vaut 4\,p^2 - 6\,p^2 = -2\,p^2 : oublier l'un des deux produits fausse toute la suite du calcul.

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