Effet d'une élasticité unitaire sur le chiffre d'affaires

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Élasticité unitaire : e = -1, c'est-à-dire e = 1. • Relation clé : R'(p) = R\,(p)/p\,(1+e), donc e = -1 R'(p) = 0. • Sur une demande linéaire q\,(p) = a - b\,p, le prix d'élasticité unitaire est p = a/2b. • Torréfaction des Hauts : p = 10\ € et R\,(10) = 10\,000\ €. • L'écart au sommet est de l'ordre du carré de la variation relative : 1\ € pour 1\ \%, 100\ € pour 10\ \%.

Le cours

1. Élasticité unitaire : quand la recette marginale s'annule L'élasticité-prix est unitaire lorsque les deux variations relatives ont la même amplitude : une hausse de 1\ \% du prix fait perdre exactement 1\ \% des ventes. Les deux effets se compensent : le chiffre d'affaires atteint alors son sommet, et une petite variation du prix ne le modifie presque pas. • Élasticité unitaire : e = -1, soit e = 1. • Relation avec la dérivée par rapport au prix : R'(p) = R\,(p)/p\,(1+e), donc e = -1 équivaut à R'(p) = 0 ; la recette marginale R'(q) s'annule au même point. • Ainsi, sur une demande linéaire q\,(p) = a - b\,p, le prix d'élasticité unitaire est p = a/2b : c'est exactement le prix qui maximise le chiffre d'affaires. • Torréfaction des Hauts : a = 2\,000, b = 100, donc p = 10\ € et R\,(10) = 10\,000\ €. 2. Méthode : mesurer l'amplitude réelle de la variation Pour mesurer l'effet réel d'une variation de prix autour du point d'élasticité unitaire, on compare le chiffre d'affaires avant et après : les écarts obtenus sont minuscules et croissent comme le carré de la variation relative, ce qui confirme que l'élasticité unitaire est une notion locale. • Torréfaction des Hauts : e = -p/20-p, donc e = -1 exactement pour p = 10\ €. • Une baisse de 1\ \% (9,90\ €) comme une hausse de 1\ \% (10,10\ €) donne 9\,999\ €, soit 1\ € perdu sur 10\,000\ €. • Une hausse de 10\ \% : 11\ € donne 9\,900\ €, soit 100\ € perdus : cent fois plus, pour dix fois plus de hausse de prix. Prix pQuantité q\,(p)R\,(p)Écart au sommetÉlasticité e 9,90\ €1\,0109\,999\ €-1\ €-0,98 10\ €1\,00010\,000\ €0-1 10,20\ €9809\,996\ €-4\ €-1,04 11\ €9009\,900\ €-100\ €-1,22 3. Piège : chiffre d'affaires maximum n'est pas chiffre d'affaires constant Élasticité unitaire ne veut pas dire chiffre d'affaires constant : en 11\ €, le chiffre d'affaires de la torréfaction vaut 9\,900\ € et non 10\,000\ €. L'élasticité est une vitesse relative, pas un niveau ; seule la dérivée s'annule exactement au sommet de la courbe. L'élasticité unitaire ne concerne qu'un point : à 16\ €, l'élasticité vaut -4 : une hausse de prix de 1\ \% y fait perdre 4\ \% des ventes, et le chiffre d'affaires baisse nettement. Enfin, ne pas confondre élasticité unitaire et optimum : le sommet du chiffre d'affaires n'est pas, en général, le prix qui maximise le résultat.

Dans ce chapitre