Maximum sur un intervalle : comparaison des bornes

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Sur [a\,;\,b], les candidats au maximum sont les bornes a, b et les points où f' = 0 appartenant à l'intervalle. • Un point critique extérieur à l'intervalle est rejeté ; s'il est le seul, la fonction est monotone sur l'intervalle. • Torréfaction des Hauts : \,(q) = 16\,q - 0,02\,q^2 - 1\,500, point critique q = 400. • Sur [0\,;\,300], le maximum est \,(300) = 1\,500\ €, atteint pour un prix de 17\ €. • Si f' ne s'annule jamais dans l'intervalle, le maximum est une borne : il existe toujours.

Le cours

1. Les valeurs candidates d'un maximum Sur un intervalle fermé [a\,;\,b], le maximum d'une fonction n'est pas forcément atteint là où la dérivée s'annule. Il faut comparer toutes les valeurs candidates : les points où la dérivée s'annule et qui appartiennent à l'intervalle, ainsi que les deux bornes a et b. • Candidats : les deux bornes, plus chaque valeur strictement comprise entre elles où la dérivée s'annule. • Si la dérivée ne s'annule jamais dans l'intervalle, le maximum est nécessairement une borne. • Un point critique situé hors de l'intervalle est rejeté ; s'il est le seul, la fonction est monotone sur l'intervalle. 2. Méthode : tableau de valeurs et comparaison des candidats Pour la torréfaction des Hauts, le résultat s'écrit \,(q) = 16\,q - 0,02\,q^2 - 1\,500. Sur l'intervalle [0\,;\,300], le point critique q = 400 est hors du domaine : le maximum est donc une des deux bornes. • Borne inférieure : \,(0) = -1\,500\ € (aucune vente, aucun chiffre d'affaires). • Borne supérieure : \,(300) = 4\,800 - 1\,800 - 1\,500 = 1\,500\ €. • Le maximum de l'intervalle est donc 1\,500\ €, atteint pour 300 sacs, c'est-à-dire au prix de 17\ €. Quantité qR\,(q) recetteC\,(q) coût\,(q) résultatPrix associé p = 20 - 0,01\,q 001\,500-1\,50020\ € 1001\,9002\,000-10019\ € 2003\,6002\,70090018\ € 3005\,1003\,6001\,50017\ € 4006\,4004\,7001\,70016\ € 5007\,5006\,0001\,50015\ € 6008\,4007\,50090014\ € 3. Piège : oublier les bornes, ou optimiser le mauvais intervalle Oublier les bornes est l'erreur classique : sur [0\,;\,300], la réponse 1\,700\ € obtenue en 400 sacs est hors sujet, et l'écart avec le vrai maximum atteint 200\ €. Symétriquement, annoncer « il n'y a pas d'optimum » parce que la dérivée ne s'annule pas est faux : le maximum existe, c'est une borne. Attention enfin à ne pas confondre l'intervalle des prix possibles, fixé par la demande (0 à 20\ € ici), et l'intervalle réellement accessible, souvent réduit par une capacité de production ou par un contrat : c'est ce dernier qui doit être optimisé.

Dans ce chapitre

• Nombre dérivé et tangente à une courbe de classe de Première
• Dérivée d'un chiffre d'affaires polynôme de classe de Première
• Signe d'une dérivée et sens de variation de classe de Première
• Chiffre d'affaires et coût total d'une fonction de prix
• Dérivée du chiffre d'affaires et recette marginale
• Élasticité-prix de la demande et calcul par un rapport
• Effet d'une élasticité unitaire sur le chiffre d'affaires
• Condition d'optimum : recette marginale égale au coût marginal
• Maximum sur un intervalle : comparaison des bornes
• Chiffre d'affaires à deux variables sous une contrainte de capacité
• Pente décroissante du résultat et nature de l'optimum
• Prix optimal et interprétation économique du résultat
• Résolution numérique d'un optimum lorsque la dérivée s'annule
• Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, élasticité et optimisation du chiffre d'affaires