Prix optimal et interprétation économique du résultat

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Le prix optimal maximise le résultat : 16\ € pour la torréfaction des Hauts, avec 1\,700\ €. • Règle : tant que la recette marginale dépasse le coût marginal, vendre un sac de plus (donc baisser le prix) améliore le résultat ; l'optimum est à leur égalité, 12\ € par sac. • En 12\ €, le résultat vaut -1\,500\ €, soit 3\,200\ € de moins qu'à l'optimum ; en 18\ €, on perd 800\ €. • Le prix qui maximise le chiffre d'affaires (10\ €) donne un résultat de -5\,500\ €. • Vérification : \,(15) = \,(17) = 1\,500\ €, la perte est symétrique autour de 16\ €.

Le cours

1. Le prix optimal et sa lecture économique Le prix optimal est le prix qui maximise le résultat. L'interprétation économique repose sur une règle simple : tant que la recette marginale (ce que rapporte un sac de plus) dépasse le coût marginal (ce qu'il coûte), vendre davantage, donc baisser un peu le prix, améliore le résultat ; dès qu'elle lui devient inférieure, il vaut mieux vendre moins, donc relever le prix. Le prix optimal correspond à leur égalité. • Torréfaction des Hauts : le prix optimal est 16\ €, pour 400 sacs et un résultat de 1\,700\ €. • En deçà de 16\ €, par exemple en 12\ € : le résultat tombe à -1\,500\ €, soit 3\,200\ € de moins qu'à l'optimum. • Au-delà de 16\ €, par exemple en 18\ € : on perd 800\ € par rapport à l'optimum. • En 10\ €, le chiffre d'affaires est maximal mais le résultat vaut -5\,500\ € : le prix qui maximise les ventes en euros n'est pas celui qui maximise le résultat. Prix retenuQuantité vendueChiffre d'affairesCoût totalRésultatDécision 10\ €1\,00010\,00015\,500-5\,500À proscrire : perte 14\ €6008\,4007\,500+900Rentable, mais pas optimal 16\ €4006\,4004\,700+1\,700Prix optimal 18\ €2003\,6002\,700+900Trop cher : 800\ € perdus 20\ €001\,500-1\,500Aucune vente 2. Méthode : vérifier par les valeurs voisines, puis chiffrer l'écart Une fois le prix optimal trouvé, on le vérifie en comparant les valeurs voisines, puis on l'interprète en mesurant ce que coûte le choix d'un prix différent. C'est cette comparaison, et non le résultat du calcul, qui convainc une direction. • \,(15) = 6\,400 15 - 200 225 - 49\,500 = 1\,500\ € et \,(17) = 1\,500\ € : la perte est identique de part et d'autre. • En 400 sacs, la recette marginale R'(q) = 20 - 0,02\,q et le coût marginal C'(q) = 4 + 0,02\,q valent tous deux 12\ € par sac : le dernier sac vendu rapporte exactement ce qu'il coûte. • Décision : fixer 16\ €, c'est-à-dire le prix où la recette marginale et le coût marginal coïncident. 3. Piège : un prix bas ne fait pas un bon résultat Interpréter un prix optimal, c'est d'abord mesurer l'écart avec les autres prix possibles, pas répéter le chiffre. Une erreur classique consiste à proposer un prix trop bas en arguant qu'il « fait du volume » : le tableau ci-dessus montre qu'en 10\ € l'entreprise perd 5\,500\ €. L'erreur inverse est de croire que toute hausse de coût se répercute intégralement sur le prix. Une hausse du coût fixe ne change pas le prix optimal ; une hausse du coût variable de 1\ € par sac ne le relève que de 0,25\ € (de 16 à 16,25\ €), et le résultat maximal baisse malgré tout : c'est ce couple de faits qu'il faut savoir expliquer.

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