Signe d'une dérivée et sens de variation de classe de Première

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• f'(x) > 0 sur un intervalle : f y est croissante ; f'(x) < 0 : f y est décroissante. • f' change de signe en a (positif puis négatif) : a est un maximum ; négatif puis positif : un minimum. • Méthode : résoudre f'(x) = 0, tester f' de part et d'autre, puis lire le sens sur chaque intervalle. • Une courbe décroissante sur tout son domaine n'a pas d'extremum intérieur : son maximum est une borne.

Le cours

1. Du signe de la dérivée au profil de la courbe Sur un intervalle, le signe de la dérivée indique le sens de variation de la fonction : si f'(x) > 0, la fonction est croissante ; si f'(x) décroissante. Un point où la dérivée s'annule en changeant de signe est un extremum local. • Une courbe qui monte puis descend correspond à f' positif puis négatif : c'est le profil d'un maximum. • Une courbe qui descend puis monte correspond à f' négatif puis positif : c'est le profil d'un minimum. • Si f' s'annule en un point sans changer de signe, ce n'est pas un extremum : la courbe y a seulement une tangente horizontale. 2. Méthode : chercher les zéros, puis tester un point de chaque côté La méthode est toujours la même : résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points à tester, puis remplacer x par une valeur de chaque côté dans f' pour lire les signes. On obtient alors le sens de variation sur chaque intervalle. • Torréfaction des Hauts : R'(p) = 2\,000 - 200\,p. L'équation R'(p) = 0 donne p = 10\ €. • Sur [0\,;\,10], R'(4) = 1\,200 > 0 : le chiffre d'affaires augmente quand le prix monte. • Sur [10\,;\,20], R'(16) = -1\,200 Prix p en eurosQuantité vendue q\,(p)R'(p)Sens de variation de R 02\,0002\,000Croissante 51\,5001\,000Croissante 101\,0000Maximum 14600-800Décroissante 18200-1\,600Décroissante 3. Piège : croissant ne veut pas dire rentable Le signe de la dérivée ne dit pas si une fonction est « bonne » : il dit seulement comment elle varie. Le chiffre d'affaires de la torréfaction des Hauts est croissant sur [0\,;\,10], et pourtant, à 8\ €, l'entreprise perd de l'argent : R\,(8) = 9\,600\ € ne couvre pas son coût total de 20\,700\ €, soit un résultat de -11\,100\ €. L'autre piège est de chercher un extremum là où la dérivée ne s'annule pas : sur un intervalle fermé, le maximum peut être une borne. Enfin, un maximum du chiffre d'affaires n'est pas un maximum du résultat : il reste à retrancher le coût total, ce qui est l'objet des notions suivantes.

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