Chiffre d'affaires et coût total d'une fonction de prix

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• R\,(p) = p q\,(p) : chiffre d'affaires, en euros ; CT\,(p) = C\,(q\,(p)) : coût total, en euros. • Torréfaction des Hauts : R\,(p) = 2\,000\,p - 100\,p^2 et CT\,(p) = 49\,500 - 4\,400\,p + 100\,p^2. • Le résultat est \,(p) = R\,(p) - CT\,(p) = 6\,400\,p - 200\,p^2 - 49\,500. • Le domaine admissible est fixé par la demande : ici 0 p 20\ €.

Le cours

1. Deux fonctions du même paramètre, à comparer Le chiffre d'affaires est le produit du prix unitaire par la quantité vendue : R\,(p) = p q\,(p). Le coût total dépend, lui, de la quantité produite ; puisque la quantité vendue est q\,(p), le coût total s'exprime en fonction du prix en remplaçant partout q par q\,(p). On obtient ainsi deux fonctions du même paramètre, que l'on peut comparer et retrancher. • Torréfaction des Hauts : q\,(p) = 2\,000 - 100\,p, donc R\,(p) = 2\,000\,p - 100\,p^2. • Coût total : C\,(q) = 1\,500 + 4\,q + 0,01\,q^2, d'où CT\,(p) = 49\,500 - 4\,400\,p + 100\,p^2. • Résultat : \,(p) = R\,(p) - CT\,(p) = 6\,400\,p - 200\,p^2 - 49\,500, avec 0 p 20 euros. • Prix admissible : il faut q\,(p) 0, donc p 20\ € ; au-delà, le modèle n'a plus de sens. Prix pQuantité q\,(p)Chiffre d'affaires R\,(p)Coût total CT\,(p)Résultat \,(p) 0\ €2\,000049\,500-49\,500\ € 4\ €1\,6006\,40033\,500-27\,100\ € 8\ €1\,2009\,60020\,700-11\,100\ € 10\ €1\,00010\,00015\,500-5\,500\ € 12\ €8009\,60011\,100-1\,500\ € 14\ €6008\,4007\,500+900\ € 16\ €4006\,4004\,700+1\,700\ € 18\ €2003\,6002\,700+900\ € 20\ €001\,500-1\,500\ € 2. Méthode : passer du prix à la quantité par la demande Travailler en fonction du prix ou en fonction de la quantité mène au même optimum, mais les fonctions obtenues ne se ressemblent pas : en fonction du prix, le résultat est une parabole ; en fonction de la quantité, ce sera R\,(q) = 20\,q - 0,01\,q^2 et C\,(q) = 1\,500 + 4\,q + 0,01\,q^2. Le passage de l'un à l'autre se fait toujours par la demande p = 20 - 0,01\,q. • Méthode : (1) écrire R\,(p) = p q\,(p), (2) remplacer q par q\,(p) dans C, (3) simplifier, (4) contrôler une valeur par le calcul direct de C. • Contrôle : CT\,(14) = 49\,500 - 61\,600 + 19\,600 = 7\,500\ €, et C\,(600) = 1\,500 + 2\,400 + 3\,600 = 7\,500\ € : les deux voies concordent. 3. Piège : le maximum du chiffre d'affaires n'est pas celui du résultat Deux courbes se comportent à l'opposé : le chiffre d'affaires croît puis décroît, alors que le coût total, fonction décroissante du prix, diminue continûment. Il en résulte que le prix qui maximise le chiffre d'affaires (10\ €) n'est pas celui qui maximise le résultat (16\ €) : au prix de 10\ €, le résultat est de -5\,500\ €, c'est-à-dire une perte. Autre piège : lire CT\,(p) comme un prix de revient. À 16\ €, le coût total des 400 sacs vaut 4\,700\ € : cela fait 11,75\ € par sac, et non 4\,700\ €.

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