Résolution numérique d'un optimum lorsque la dérivée s'annule

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Quand '(q) = 0 n'a pas de solution évidente, on encadre le zéro par balayage ou par dichotomie. • On part de deux valeurs où ' change de signe, puis on resserre : [40\,;\,50], [48\,;\,49], [48,2\,;\,48,3]. • Cidrerie du Bocage : zéro proche de 48,3 ; en hectolitres entiers, \,(48) = 65\,248\ € est le maximum. • Deux zéros possibles : on garde celui où ' passe du positif au négatif, puis on compare aux bornes. • Les coûts fixes disparaissent en dérivant : ils changent le résultat, jamais la quantité optimale.

Le cours

1. Encadrer un zéro de la dérivée Pour trouver l'optimum, on résout '(q) = 0. Lorsque le résultat est du troisième degré, ' est du second degré et ses racines ne sont pas toujours évidentes : on les encadre alors numériquement, à la calculatrice ou au tableur, jusqu'à la précision demandée. • Balayage : on calcule ' avec un pas régulier (10, puis 1, puis 0,1) et on repère deux valeurs consécutives de signes contraires. • Dichotomie : on part d'un intervalle [a\,;\,b] où ' change de signe, on calcule ' au milieu et on garde la moitié où le changement de signe persiste. • Chaque étape divise la longueur de l'intervalle par 10 (balayage) ou par 2 (dichotomie). 2. Méthode appliquée à la cidrerie du Bocage Le résultat de la cidrerie s'écrit \,(q) = -q^3 + 60\,q^2 + 1\,200\,q - 20\,000 euros pour q hectolitres, avec 0 q 80. Sa dérivée est '(q) = -3\,q^2 + 120\,q + 1\,200. On encadre son zéro par balayage : Quantité q testée'(q)SigneConclusion 401\,200+Le résultat augmente 50-300-Zéro entre 40 et 50 4848+Augmente encore 49-123-Zéro entre 48 et 49 48,214,28+Augmente encore 48,3-2,67-Zéro entre 48,2 et 48,3 • Le zéro est entre 48,2 et 48,3, et la pente y passe du positif au négatif : c'est un maximum. • En hectolitres entiers, on compare \,(48) = 65\,248\ € et \,(49) = 65\,211\ € : on retient 48 hectolitres. 3. Piège : deux racines, et coûts fixes sans effet sur l'optimum Une dérivée du second degré peut s'annuler deux fois dans l'intervalle. Il faut alors lire le signe de ' de part et d'autre de chaque zéro : celui où la pente passe du négatif au positif est un minimum et ne convient pas. Il faut aussi comparer le maximum trouvé avec les valeurs aux bornes. Autre piège : croire qu'une hausse des coûts fixes déplace l'optimum. Une constante a pour dérivée 0 : ' ne change pas, la quantité optimale non plus, seul le niveau du résultat baisse. Enfin, annoncer une quantité au centième sans avoir encadré le zéro au centième est abusif.

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