Dérivée du chiffre d'affaires et recette marginale

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• R'(p), dérivée du chiffre d'affaires par rapport au prix, s'exprime en euros de chiffre d'affaires par euro de prix. • Pour une demande affine, R'(p) = q\,(p) + p\,q'(p) : un terme de recette sur les ventes existantes, un terme de ventes perdues. • Torréfaction des Hauts : R'(p) = 2\,000 - 200\,p, donc R'(4) = 1\,200 et R'(16) = -1\,200 ; si R'(p) > 0, une hausse de prix augmente le chiffre d'affaires. • La recette marginale est R'(q), en euros par unité vendue : R'(q) = 20 - 0,02\,q, soit 12\ € par sac pour 400 sacs. • CT'(p) = -4\,400 + 200\,p est négatif : augmenter le prix réduit aussi les dépenses.

Le cours

1. Dériver le chiffre d'affaires par rapport au prix La dérivée R'(p) du chiffre d'affaires par rapport au prix mesure l'effet d'une hausse de prix. Comme R et p s'expriment en euros, elle s'exprime en euros de chiffre d'affaires par euro de prix : elle indique ce que rapporte, ou coûte, une hausse de 1\ € du prix de vente au voisinage du prix considéré. • Pour une demande affine q\,(p) = a - b\,p : R\,(p) = a\,p - b\,p^2 et R'(p) = a - 2\,b\,p = q\,(p) + p\,q'(p), un terme positif (recette sur les ventes déjà réalisées) et un terme négatif (ventes perdues). • Torréfaction des Hauts : R'(p) = 2\,000 - 200\,p. Ainsi R'(4) = 1\,200 et R'(16) = -1\,200 euros par euro de prix. • Si R'(p) > 0, augmenter le prix augmente le chiffre d'affaires ; si R'(p) 2. La recette marginale : dériver par rapport à la quantité En économie, la recette marginale est la dérivée R'(q) du chiffre d'affaires exprimé en fonction de la quantité vendue. Elle s'exprime en euros par unité et donne, à peu près, la recette apportée par une unité vendue de plus ; de même, le coût marginal C'(q) donne à peu près le coût d'une unité produite de plus. • Torréfaction des Hauts : la demande donne p = 20 - 0,01\,q, donc R\,(q) = 20\,q - 0,01\,q^2 et R'(q) = 20 - 0,02\,q. • En 400 sacs (prix 16\ €) : R'(400) = 12\ € par sac ; le calcul exact donne R\,(401) - R\,(400) = 6\,411,99 - 6\,400 = 11,99\ €. • La recette marginale (12\ €) est inférieure au prix (16\ €) : pour vendre un sac de plus, il faut baisser un peu le prix de tous les sacs. • Lien avec R'(p) : une hausse de 1\ € fait perdre 100 sacs, qui rapportent chacun environ 12\ € ; on retrouve R'(16) = -100 12 = -1\,200. Les deux dérivées sont de signes contraires. 3. Méthode : dériver, tabuler, traduire en euros On dérive, on place le résultat dans un tableau, puis on traduit chaque valeur en euros. La même démarche appliquée au coût total donne CT'(p), l'effet d'une hausse de prix sur le coût, négatif ici : augmenter le prix réduit la production, donc les dépenses. • Torréfaction des Hauts : CT'(p) = -4\,400 + 200\,p, et le résultat \,(p) = 6\,400\,p - 200\,p^2 - 49\,500 a pour dérivée '(p) = R'(p) - CT'(p). • À 10\ €, R'(10) = 0 : le chiffre d'affaires est au sommet de sa courbe. • À 16\ €, R'(16) = CT'(16) = -1\,200 : les deux courbes ont la même pente, donc '(16) = 0 : le résultat atteint son maximum. Prix pq\,(p)R'(p) effet sur le chiffre d'affairesCT'(p) effet sur le coût'(p) = R'(p)-CT'(p) 0\ €2\,0002\,000-4\,4006\,400 8\ €1\,200400-2\,8003\,200 10\ €1\,0000-2\,4002\,400 14\ €600-800-1\,600800 16\ €400-1\,200-1\,2000 20\ €0-2\,000-400-1\,600 0 5 10 15 20 0 5 000 10 000 R(p) en euros prix p (euros) R(p) maximum tangente en 4 euros pente 1 200 4. Piège : une variation n'est pas un montant, un prix n'est pas une marge La dérivée R'(p) est une variation, jamais un montant : R'(16) = -1\,200 signifie qu'une hausse de prix de 1\ € fait perdre environ 1\,200\ € de chiffre d'affaires, pas que l'entreprise « perd » 1\,200\ € sur chaque sac. Elle ne se confond pas non plus avec la recette marginale : au même point, R'(p) vaut -1\,200 euros par euro de prix, alors que R'(q) vaut +12\ € par sac. Autre piège : confondre la recette marginale avec la marge unitaire, qui vaut p - C\,(q)/q par sac vendu (prix moins coût moyen) : à 16\ €, elle vaut 16 - 11,75 = 4,25\ €, contre 12\ € pour la recette marginale. Une dérivée R'(p) négative n'oblige pas à arrêter de vendre ; elle indique seulement que ce prix est trop haut pour maximiser le chiffre d'affaires, alors que l'entreprise cherche à maximiser son résultat. Enfin, la tangente ne donne qu'une approximation : sur une hausse de plusieurs euros, la pente R'(p) change en chemin.

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