Chiffre d'affaires à deux variables sous une contrainte de capacité

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• CA\,(x,y) = 45\,x + 28\,y : le chiffre d'affaires dépend de deux quantités. • Chaque coefficient est la recette d'une place supplémentaire : 45\ € en plein tarif, 28\ € en tarif réduit. • Avec la contrainte x + y = 300 : CA\,(x) = 8\,400 + 17\,x, fonction affine croissante. • Le maximum est atteint à une borne : x = 300, y = 0, avec 13\,500\ € de chiffre d'affaires et = 6\,700\ €.

Le cours

1. Deux tarifs, deux recettes par place Lorsqu'une salle vend deux catégories de places, son chiffre d'affaires dépend de deux quantités : x places en plein tarif et y places en tarif réduit. Avec des prix fixes, il s'écrit CA\,(x,y) = a\,x + b\,y : chaque coefficient est la recette apportée par une place supplémentaire de la catégorie, l'autre quantité restant fixe. CA\,(x,y) = 45\,x + 28\,y • Une place de plus en plein tarif ajoute 45\ € de chiffre d'affaires ; une place de plus en tarif réduit, 28\ €. • Ces deux nombres sont des recettes marginales, en euros par place ; pour le résultat, on retire le coût de 16\ € par place : 29\ € et 12\ €. 2. Méthode : tenir compte de la contrainte, puis dériver une seule variable La salle compte 300 places, toutes vendues : la contrainte s'écrit x + y = 300. On remplace y par 300 - x pour revenir à une seule variable, on étudie le sens de variation, puis on conclut sur l'intervalle autorisé pour x. • Avec y = 300 - x : CA\,(x) = 45\,x + 28\,(300 - x) = 8\,400 + 17\,x. • Fonction affine de coefficient 17 > 0, donc croissante : remplacer une place réduite par une place pleine rapporte 45 - 28 = 17\ €. • Sur [0\,;\,300], le maximum est atteint à la borne x = 300, y = 0 : la dérivée, constante, ne s'annule jamais. • Coût : 2\,000 + 16\,(x+y) ; résultat : = 29\,x + 12\,y - 2\,000, soit 6\,700\ € pour x = 300. Places pleines xPlaces réduites yCACoût totalRésultat 300013\,5006\,800+6\,700 2604012\,8206\,800+6\,020 20010011\,8006\,800+5\,000 03008\,4006\,800+1\,600 3. Piège : oublier la contrainte, ou chercher où la dérivée s'annule Le piège classique est d'oublier la contrainte : sans elle, il suffirait de vendre toujours plus de places des deux catégories, ce qui est impossible dans une salle de 300 places. Le second piège est de chercher où « la dérivée s'annule » : après substitution, CA\,(x) = 8\,400 + 17\,x a une dérivée constante égale à 17, jamais nulle, et le maximum se trouve à une borne. Attention enfin à l'interprétation du nombre 17 : ce n'est pas le prix d'une place, mais le gain obtenu en remplaçant une place réduite par une place pleine, le nombre total de places restant égal à 300.

Dans ce chapitre