Bilan : Synthèse et méthode sur Coût marginal, élasticité et optimisation du chiffre d'affaires

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Chiffre d'affaires R = p q\,(p) et coût total CT = C\,(q\,(p)) s'expriment dans la même variable avant d'être retranchés. • Résultat = R - CT, en euros ; optimum quand ' = 0, donc recette marginale égale au coût marginal. • Recette marginale R'(q) et coût marginal C'(q) en euros par sac ; dérivées par rapport au prix R'(p) et CT'(p) en euros par euro de prix. • Élasticité-prix e = q/q/ p/p, sans dimension ; e = -1 au sommet du chiffre d'affaires. • Prix optimal des Hauts : 16\ €, 400 sacs, 1\,700\ € de résultat ; rentabilité seulement entre 13,08\ € et 18,92\ €.

Le cours

1. Les grandeurs du chapitre et leur rôle Tout le chapitre repose sur une seule famille de fonctions : le chiffre d'affaires et le coût total, exprimés dans la même variable, dont on compare les grandeurs marginales pour optimiser le résultat. Le tableau ci-dessous rassemble les grandeurs utilisées. GrandeurExpressionUnitéRôle dans la décision Chiffre d'affaires Rp q\,(p)eurosMesurer le volume d'affaires Coût total CTC\,(q\,(p))eurosMesurer la consommation de ressources Résultat - CTeurosDéterminer si l'activité crée de la valeur Dérivées par rapport au prixR'(p), CT'(p) et '(p) = R'(p) - CT'(p)euros par euro de prixEffet d'une hausse de prix de 1\ € Recette marginaleR'(q)euros par sacRecette d'un sac vendu de plus Coût marginalC'(q)euros par sacEffet d'une unité produite sur le coût Élasticité-prix e q/q/ p/psans dimensionSensibilité des ventes au prix 2. La méthode en cinq étapes, appliquée à la torréfaction des Hauts La méthode se déroule en cinq étapes, dans cet ordre. Sauter l'étape 4 est la cause la plus fréquente d'erreurs dans les copies. • (1) Choisir la variable et son domaine : ici le prix p [0\,;\,20], car q\,(p) 0 impose p 20. • (2) Écrire R, CT puis dans cette variable : R = 2\,000\,p - 100\,p^2, = 6\,400\,p - 200\,p^2 - 49\,500. • (3) Résoudre '(p) = 0 : ici 6\,400 - 400\,p = 0 donne p = 16\ €. • (4) Vérifier : ' est positive avant 16 et négative après, puis comparer avec les bornes 0 et 20, qui donnent -49\,500\ € et -1\,500\ €. • (5) Interpréter : en 16\ €, le résultat vaut 1\,700\ €, contre 900\ € en 14 et 18\ €. 3. Les quatre prix à ne pas confondre Quatre confusions récurrentes méritent d'être rassemblées : le prix qui maximise le chiffre d'affaires, le prix qui maximise le résultat, le seuil de rentabilité et le prix le plus élevé possible. Ils coïncident rarement, et les confondre coûte cher à la direction. • Prix du maximum de R : 10\ €, avec 10\,000\ € de chiffre d'affaires et un résultat de -5\,500\ €. • Prix du maximum de : 16\ €, avec 6\,400\ € de chiffre d'affaires et +1\,700\ € de résultat. • Seuil de rentabilité : R = CT donne 6\,400\,p - 200\,p^2 - 49\,500 = 0, soit 1\,700 - 200\,(p-16)^2 = 0 et (p-16)^2 = 8,5 : les racines sont 16 8,5, environ 13,08\ € et 18,92\ € : l'entreprise ne gagne de l'argent qu'entre ces deux prix. • Prix le plus élevé possible : 20\ €, où les ventes sont nulles et le résultat vaut -1\,500\ €. L'élasticité unitaire (e = -1 en 10\ €) repère seulement le sommet du chiffre d'affaires. 4. Piège : ni le prix le plus haut, ni le prix le plus bas Le prix optimal est-il toujours le plus élevé ? Non : en 18\ €, la torréfaction gagne encore de l'argent, mais 800\ € de moins qu'en 16\ €. Faut-il baisser le prix pour vendre davantage ? Non plus : en 14\ €, on perd également 800\ € par rapport à l'optimum. Le bon réflexe consiste à comparer les pentes : on augmente le prix tant que R'(p) dépasse CT'(p), c'est-à-dire tant que '(p) > 0 ; en quantité, on vend un sac de plus tant que la recette marginale dépasse le coût marginal. À 16\ €, R'(16) = CT'(16) = -1\,200 et, pour 400 sacs, recette et coût marginaux valent tous deux 12\ € par sac : le résultat est au sommet. Cette règle vaut quelle que soit la forme des courbes, à condition de vérifier le changement de signe de ' et de comparer avec les bornes.

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