Puissances de dix et écriture scientifique de classe de 4e

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Notation scientifique : a 10^n avec 1 a < 10, donc 12\,400\,000\ € = 1,24 10^7\ €. • 10^n décale la virgule de n crans ; un exposant négatif donne un nombre inférieur à 1. • Un taux s'applique directement : 1,24 10^7 0,045 = 5,58 10^5, soit 558\,000\ €. • Produit ou quotient : on calcule les premiers facteurs à part, on additionne ou soustrait les exposants, puis on ramène le premier facteur entre 1 et 10 : 14,4 10^5 = 1,44 10^6.

Le cours

1. La notation scientifique : un seul chiffre avant la virgule Dans une entreprise, les montants à traiter sont souvent très grands ou très petits. La notation scientifique a 10^n, avec 1 a • 12\,400\,000\ € = 1,24 10^7\ € : pour un nombre entier, l'exposant compte les chiffres qui suivent le premier chiffre. • 0,00032 = 3,2 10^-4 : un exposant négatif donne un nombre plus petit que 1. • Pour n positif, 10^n s'écrit 1 suivi de n zéros : 10^4 = 10\,000, 10^9 = 1\,000\,000\,000 ; et 10^-n = 110^n, donc 10^-3 = 0,001. n10^nn10^n -30,00131\,000 -20,01410\,000 -10,161\,000\,000 0191\,000\,000\,000 2. Calculer vite : décaler la virgule ou multiplier par dix Tout le calcul financier du chapitre se fait sur des coefficients multiplicatifs. La notation scientifique évite les longues suites de zéros et limite les erreurs de frappe. • Multiplier par 10^3 décale la virgule de trois crans vers la droite : 12\,400 10^3 = 12\,400\,000. • Diviser par 10^2 revient à multiplier par 10^-2 : 1,24 10^710^2 = 1,24 10^5 = 124\,000. • Produit et quotient : (a 10^n) (b 10^p) = (a b) 10^n+p et a 10^nb 10^p = a/b 10^n-p. • Un intérêt annuel se calcule en une seule ligne : 1,24 10^7 0,045 = 1,24 10^7 4,5 10^-2 = 5,58 10^5, soit 558\,000\ €. 3. Deux pièges d'ordre de grandeur • Écrire 1\,240\,000\ € sous la forme 1,24 10^6 est juste, mais 1,24 10^7 donnerait 12\,400\,000\ €, dix fois trop : on compte les chiffres qui suivent le premier, on ne devine pas l'exposant. • Oublier de ramener le premier facteur entre 1 et 10 : 14,4 10^5 et 0,75 10^5 sont des écritures justes, mais pas des notations scientifiques. Quand la virgule se décale vers la gauche, l'exposant augmente d'autant : 14,4 10^5 = 1,44 10^6 ; vers la droite, il diminue : 0,75 10^5 = 7,5 10^4.

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