Rythme de progression des intérêts d'un placement

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Simple : I_n = C_0 t constant. Composé : I_n = C_0 t (1+t)^n-1. • L'exposant est n - 1 : les intérêts de l'année n portent sur le capital de l'année précédente. • I_n+1 / I_n = 1 + t est constant ; I_n+1 - I_n = t I_n ne l'est pas. • Sur 8\,000\ € à 4,5\ \% : intérêts 360,00, 376,20, 393,13, 410,82\ € ; écarts 16,20, 16,93, 17,69\ €.

Le cours

1. Les intérêts eux-mêmes forment une suite Comparer deux placements revient souvent à comparer les intérêts d'une année à l'autre. Or ceux-ci ont un comportement très régulier, qui dépend entièrement du régime retenu. • En intérêts simples : I_n = C_0 t pour tout n, la suite des intérêts est constante. • En intérêts composés : I_n = C_0 t (1 + t)^n-1. • L'exposant est n - 1 et non n : les intérêts de l'année n sont calculés sur le capital de l'année n - 1. 2. Le quotient de deux intérêts consécutifs En régime composé, le rapport I_n+1 / I_n vaut toujours 1 + t : c'est la définition d'une suite géométrique de raison 1 + t. En revanche l'écart I_n+1 - I_n n'est pas constant, il vaut t I_n et croît avec les intérêts. Année nCapital débutIntérêts I_nI_n+1 - I_nI_n+1 / I_n 18\,000,00\ €360,00\ €16,20\ €1,045 28\,360,00\ €376,20\ €16,93\ €1,045 38\,736,20\ €393,13\ €17,69\ €1,045 49\,129,33\ €410,82\ €—— 3. Ce que le tableau révèle immédiatement Sur le placement de 8\,000\ € à 4,5\ \% du tableau, les écarts entre intérêts successifs valent 16,20\ € puis 16,93\ € puis 17,69\ €. Ils augmentent de 4,5\ \% chaque année, exactement comme le capital : l'écart entre deux intérêts consécutifs est lui-même une suite géométrique de raison 1 + t. • Un écart nul d'une année à l'autre signale des intérêts simples ; un écart qui progresse lui aussi de 4,5\ \% par an, comme le capital, est la signature d'un placement composé. • Contrôle direct : l'écart vaut t fois l'intérêt de l'année, 0,045 360,00 = 16,20\ €. 4. Pièges à éviter • Écrire I_n = C_0 t (1 + t)^n : on compte une capitalisation de trop et l'on surestime les intérêts de la première année. • Croire que les intérêts augmentent chaque année du même montant : ils augmentent de 4,5\ \% de leur propre valeur, donc de 16,20\ €, puis 16,93\ €, puis 17,69\ €. • Utiliser la formule des intérêts simples pour mesurer la progression : en simple, le quotient I_n+1 / I_n vaut 1.

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