Intérêts simples et intérêts composés : calcul année par année

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Intérêts simples : I = C_0 t et C_n = C_0 (1 + nt), intérêts constants d'une année à l'autre. • Intérêts composés : C_k+1 = (1+t) C_k et C_n = C_0 (1+t)^n, intérêts croissants. • Sur 8\,000\ € à 4,5\ \% pendant 4 ans : 9\,440,00\ € en simple, 9\,540,15\ € en composé. • Contrôle : la dernière ligne du tableau composé doit redonner C_0 (1+t)^n au centime près, ici 8\,000 1,045^4.

Le cours

1. Les intérêts simples : un montant constant chaque année Les intérêts simples se calculent sur le capital initial, jamais sur le capital élargi. Pour un capital C_0 placé au taux annuel t, l'intérêt d'une année vaut I = C_0 t et la valeur finale est C_n = C_0 (1 + nt). Sur 8\,000\ € à 4,5\ \%, chaque année rapporte 360,00\ €, quelle que soit l'année considérée. • Intérêts simples : I = C_0 t ; valeur acquise : C_n = C_0 (1 + nt). • Les intérêts forment donc une suite constante, c'est-à-dire arithmétique de raison 0. • Une durée de n périodes donne n fois le même intérêt, jamais un intérêt calculé sur les intérêts. 2. Les intérêts composés : le capital travaille sur lui-même À intérêts composés, on applique le taux au capital de l'année précédente, capital qui a déjà grossi : le placement produit lui-même une partie des intérêts de l'année suivante. La récurrence est C_k+1 = (1 + t) C_k, et la formule générale est C_n = C_0 (1 + t)^n. AnnéeIntérêts simplesCapital simpleIntérêts composésCapital composé 0—8\,000,00\ €—8\,000,00\ € 1360,00\ €8\,360,00\ €360,00\ €8\,360,00\ € 2360,00\ €8\,720,00\ €376,20\ €8\,736,20\ € 3360,00\ €9\,080,00\ €393,13\ €9\,129,33\ € 4360,00\ €9\,440,00\ €410,82\ €9\,540,15\ € 3. Méthode : un tableau avant une formule Pour un placement de gestion, le tableau année par année est plus parlant que la formule : il montre où passe l'euro et fait apparaître l'écart entre les deux régimes. • 1. Écrire le capital initial et le taux dans l'en-tête du tableau. • 2. Calculer les intérêts de l'année 1 sur le capital initial, puis les ajouter pour obtenir le capital au bout d'un an. • 3. Recommencer chaque année : en composé, le taux s'applique au capital de la fin d'année précédente et les intérêts augmentent ; en simple, il s'applique toujours au capital initial et les intérêts restent identiques. • 4. Terminer en comparant la dernière ligne des deux colonnes. 4. Trois pièges coûteux • Appliquer la formule C_n = C_0 (1+t)^n à un placement à intérêts simples : on annonce ici 9\,540,15\ € au lieu de 9\,440,00\ €, soit 100,15\ € de trop. • Recommencer chaque année sur 8\,000\ € : les intérêts restent alors à 360,00\ € et l'on obtient exactement un placement à intérêts simples. • Arrondir le coefficient trop tôt : 1,045^4 1,19 donne 8\,000 1,19 = 9\,520,00\ € au lieu de 9\,540,15\ €, soit 20,15\ € d'erreur. On garde au moins six décimales au coefficient et on arrondit le montant au centime.

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