Suites géométriques et croissance d'un capital de classe de Première

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Suite géométrique : u_n+1 = q u_n, donc u_n = u_0 q^n (ou u_n = u_1 q^n-1). • Évolution de t\ \% par période : raison q = 1 + t/100 (hausse) ou q = 1 - t/100 (baisse). • Avec u_0 > 0 : suite croissante si q > 1, décroissante si 0 < q < 1. • Reconnaissance : le quotient u_n+1u_n est constant (et non la différence).

Le cours

1. Définition d'une suite géométrique Une suite (u_n) est géométrique lorsqu'on passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q, appelé raison : u_n+1 = q u_n pour tout entier naturel n. En gestion, c'est le modèle d'une grandeur qui évolue à chaque période du même pourcentage : capital placé à intérêts composés, chiffre d'affaires en progression régulière, matériel qui se déprécie. u_n = u_0 q^n • Si le premier terme est u_1, on écrit u_n = u_1 q^n-1 : l'exposant compte les multiplications effectuées depuis le premier terme. • Une hausse de t\ \% par période donne une raison q = 1 + t/100 ; une baisse de t\ \% donne q = 1 - t/100. • Exemple : un chiffre d'affaires de 1\,000\ € qui augmente de 25\ \% par an vérifie u_n = 1\,000 1,25^n. n0123456 u_n (€)1\,0001\,2501\,562,501\,953,132\,441,413\,051,763\,814,70 2. Sens de variation et représentation graphique Avec un premier terme u_0 > 0, le sens de variation se lit sur la raison : si q > 1 la suite est croissante, si 0 1. 1 0002 0003 0000123456nuₙ (€)uₙ = 1 000 × 1,25ⁿ : des points isolés 3. Méthode : reconnaître une suite géométrique 1. Calculer les quotients u_1/u_0, u_2/u_1, u_3/u_2, etc. 2. S'ils sont tous égaux à un même nombre q, la suite est géométrique de raison q ; s'ils diffèrent, elle ne l'est pas. 3. Écrire u_n = u_0 q^n, puis calculer le terme demandé directement à la calculatrice. Mini-exemple : 40\,000 ; 44\,000 ; 48\,400 donnent deux quotients égaux à 1,1 : hausse régulière de 10\ \%, et u_3 = 48\,400 1,1 = 53\,240. 4. Attention • q^n n'est pas n q : 1,25^4 2,44, alors que 4 1,25 = 5. • Différence constante ne veut pas dire géométrique : 40\,000 ; 44\,000 ; 48\,000 augmente de 4\,000 à chaque fois (suite arithmétique), mais les quotients 1,1 puis 1,0909 ne sont pas égaux. • Quand la suite commence à u_1, l'exposant est n - 1 et non n.

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