Valeur acquise d'un capital placé pendant n périodes

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Valeur acquise : C_n = C_0 (1+t)^n, le capital initial étant numéroté 0. • Une période de plus, c'est un facteur 1 + t de plus : 3\,200\ € à 3,5\ \% donnent 3\,800,60\ € en 5 ans et 3\,933,62\ € en 6 ans. • Chaque versement se capitalise pendant le temps qui lui reste : 5\,000 1,05^5 + 5\,000 1,05^3 = 12\,169,53\ €. • 1 + nt est la formule des intérêts simples, jamais celle d'un placement composé.

Le cours

1. La valeur acquise : autant de capitalisations que de périodes Placer un capital C_0 à un taux périodique t signifie qu'il est multiplié par 1 + t à chaque période. Après n périodes, ce coefficient s'est appliqué n fois : c'est (1+t)^n. La valeur acquise est donc toujours le produit du capital par un coefficient. • C_n = C_0 (1 + t)^n, avec C_0 au rang 0. • Un capital déposé aujourd'hui et retiré dans n périodes a subi exactement n capitalisations, ni une de plus ni une de moins. • Exemple : 3\,200\ € à 3,5\ \% par an donnent 3\,200 1,035^5 = 3\,800,60\ € au terme de cinq ans. Périodes nCoefficient 1,035^nValeur acquise 013\,200,00\ € 11,0353\,312,00\ € 21,0712253\,427,92\ € 31,1087183\,547,90\ € 41,1475233\,672,07\ € 51,1876863\,800,60\ € 61,2292553\,933,62\ € 2. Compter les périodes : l'erreur d'une unité coûte cher Le point qui coûte le plus cher n'est pas le calcul mais le décompte. Le capital initial correspond à l'instant de référence : il n'a encore subi aucune capitalisation, il porte donc l'indice 0. • Déposé aujourd'hui, retiré dans cinq ans à 5\ \% : cinq capitalisations, donc 1,05^5 = 1,276282. • Déposé dans un an, retiré dans cinq ans : quatre capitalisations seulement, donc 1,05^4 = 1,215506. • Deux versements échelonnés : on calcule la valeur acquise de chacun à la date finale, puis on additionne. 5\,000 1,05^5 + 5\,000 1,05^3 = 12\,169,53\ €. 3. Pièges de comptage et de calcul • Écrire (1+t)^n+1 parce que l'on compte la première année comme une capitalisation : le rang 0 du capital n'est pas une période de placement, il est le point de départ. • Confondre puissance et produit : 1,035^5 vaut 1,187686, alors que 5 1,035 = 5,175. L'exposant compte des multiplications successives par 1,035, il ne multiplie pas le coefficient. • Remplacer (1+t)^n par 1 + nt : cette formule est celle des intérêts simples. Sur le tableau, 1 + 5 0,035 = 1,175 au lieu de 1,187686, soit 40,60\ € manquants. 4. Méthode de calcul en quatre gestes • 1. Écrire le capital initial et la durée en périodes de capitalisation. • 2. Écrire le coefficient d'une période : q = 1 + t. • 3. Élever q à la puissance égale au nombre de périodes, en justifiant le décompte par écrit. • 4. Multiplier par le capital initial et arrondir au centime une seule fois, sur le résultat final.

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