Valeur actuelle d'une somme à recevoir dans n périodes

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Valeur actuelle : V_0 = S(1+t)^n = S (1+t)^-n. • Actualiser, c'est diviser par le coefficient de capitalisation : 10\,000\ € dans 5 ans à 6\ \% valent 7\,472,58\ € aujourd'hui. • On additionne des valeurs actuelles, jamais des sommes de montants futurs. • Le résultat dépend du taux d'actualisation retenu : plus il est élevé, plus la valeur actuelle est faible.

Le cours

1. Actualiser : ramener une somme future à aujourd'hui Un dirigeant doit souvent évaluer aujourd'hui une somme future : dividende à encaisser, créance client à recouvrer, facture à payer dans trois ans. Pour comparer deux offres qui ne se règlent pas à la même date, il faut ramener chaque somme à la date d'aujourd'hui : c'est l'actualisation. • Valeur actuelle : V_0 = S (1 + t)^-n = S(1 + t)^n, où S est la somme à recevoir. • Actualiser, c'est diviser : on remonte le temps, donc le montant obtenu est plus petit que la somme future. • Le taux d'actualisation est choisi par l'entreprise : en général le taux auquel elle pourrait placer (ou devrait emprunter) cet argent sur la même durée. Retard nCoefficient 1,06^nValeur actuelle d'une créance de 10\,000\ € 1 an1,0600009\,433,96\ € 2 ans1,1236008\,899,96\ € 3 ans1,1910168\,396,19\ € 4 ans1,2624777\,920,94\ € 5 ans1,3382267\,472,58\ € 2. Méthode : actualiser période par période Diviser n fois de suite par 1 + t donne exactement le même résultat qu'une seule division par (1+t)^n. Cette répétition du geste est plus sûre que le calcul d'une puissance, et elle permet de contrôler chaque étape. • 10\,000 1,06 = 9\,433,96\ € puis 9\,433,96 1,06 = 8\,899,96\ € : valeurs actuelles d'une créance de 10\,000\ € payable dans un an, puis dans deux ans. • Plusieurs créances : on additionne les valeurs actuelles, chacune avec son propre retard, jamais les sommes futures. • 18\,000\ € dans deux ans et 12\,000\ € dans cinq ans valent aujourd'hui, à 4\ \% : 16\,642,01\ € + 9\,863,13\ € = 26\,505,14\ €. 3. Pièges • Actualiser en multipliant par (1+t)^n : on obtiendrait 10\,000 1,338226 = 13\,382,26\ € au lieu de 7\,472,58\ €. C'est exactement l'erreur de sens, car on aurait capitalisé une somme qui n'est pas encore encaissée. • Mélanger les unités de temps : avec un taux annuel, une somme payable dans dix-huit mois s'actualise avec l'exposant 1,5 (années) et non 18 ; pour utiliser 18, il faut d'abord le taux mensuel équivalent. • Additionner les sommes futures avant de diviser : 30\,000\ € divisés par un coefficient unique donnent un résultat faux, puisque chaque somme a son propre retard.

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