Bilan : Synthèse et méthode sur Flux financiers, capitalisation et actualisation

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Capitalisation C_n = C_0 (1+t)^n : une somme future est demandée. • Actualisation V_0 = S (1+t)^-n : une somme future est donnée. • Taux équivalent t' = (1+t)^1/m - 1 : changer la période du taux. • Taux inconnu : racine n-ième pour un seul versement, tests successifs pour un échéancier ; durée inconnue : logarithme décimal. • Toujours trois contrôles : sens, unité, opération inverse.

Le cours

1. Les outils du chapitre Tout le chapitre tient dans une décision : celle de l'outil à employer. Une fois le bon outil choisi, le calcul se déduit presque mécaniquement. OutilQuestion du dirigeantFormuleSens du calcul CapitalisationCombien aurai-je dans n périodes ?C_n = C_0 (1+t)^nmultiplier ActualisationCombien vaut aujourd'hui une somme future ?V_0 = S (1+t)^-ndiviser Taux équivalentCe taux vaut quoi sur une autre période ?t' = (1+t)^1/m - 1prendre une racine Taux impliciteQuel est le vrai taux de ce contrat ?tests de valeurs successivesencadrer DuréeAu bout de combien de périodes ?n = c/(1+t)logarithme décimal Question poséeà l'outilValeur future attenduecapitaliser : multiplier par (1 + t)ⁿValeur présente d'une somme futureactualiser : diviser par (1 + t)ⁿMême opération, autre périodetaux équivalent : (1 + t)^(1/m) − 1Taux d'intérêt inconnutaux implicite : racine ou testsDurée inconnuen = log(c) ÷ log(1 + t) 2. Méthode : cinq questions avant tout calcul • 1. Une somme future est-elle demandée ? Si oui, on capitalise. • 2. Une somme future est-elle donnée, et faut-il la ramener à aujourd'hui ? Si oui, on actualise. • 3. Le taux est-il exprimé pour une autre période que celle du calcul ? Si oui, on cherche un taux équivalent. • 4. Le taux est-il la véritable inconnue ? Avec un seul versement, on prend la racine n-ième ; avec un échéancier, on encadre par des tests successifs. • 5. La durée est-elle l'inconnue ? On résout (1+t)^n = c avec le logarithme décimal, puis on retient la période entière qui suit. 3. Trois contrôles systématiques avant de conclure • Contrôle de sens : à taux positif, une valeur future dépasse toujours sa valeur présente ; pour un emprunt remboursé par annuités, le taux implicite dépasse le taux simple apparent, car la dette diminue au fil des versements. • Contrôle d'unité : on conclut en euros arrondis au centime, jamais en coefficients sans unité. • Contrôle par l'opération inverse : multiplier une valeur actuelle par (1+t)^n doit rendre la somme future, et actualiser une valeur acquise doit rendre le capital initial.

Dans ce chapitre

• Pourcentages et coefficient multiplicateur de classe de 3e
• Puissances de dix et écriture scientifique de classe de 4e
• Suites géométriques et croissance d'un capital de classe de Première
• Intérêts simples et intérêts composés : calcul année par année
• Rythme de progression des intérêts d'un placement
• Valeur acquise d'un capital placé pendant n périodes
• Valeur actuelle d'une somme à recevoir dans n périodes
• Taux équivalent à plusieurs périodes de capitalisation
• Comparaison de deux plans de remboursement par actualisation
• Taux d'intérêt implicite d'un emprunt et résolution approchée
• Fonction logarithme décimal, réciproque de x 10^x
• Résolution d'une équation exponentielle par changement de variable
• Échéancier d'emprunt et vérification du montant total remboursé
• Bilan : Synthèse et méthode sur Flux financiers, capitalisation et actualisation