Fonction logarithme décimal, réciproque de x 10^x

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• 10^x = b x = (b), pour b > 0 ; (1) = 0 et (10) = 1. • (ab) = a + b ; (a/b) = a - b ; (a^x) = x a. • Pour c > 0 : q^x = c x = c/ q. • est strictement croissante ; q < 0 si 0 < q < 1, ce qui inverse une inégalité quand on divise par q.

Le cours

1. Définition du logarithme décimal Pour tout réel b > 0, il existe un unique réel x tel que 10^x = b : on le note (b), le logarithme décimal de b. La fonction , définie sur ]0\,;\,+[, est la fonction réciproque de x 10^x : elle « retrouve l'exposant ». C'est elle qui permet de calculer une inconnue placée dans un exposant, par exemple un nombre d'années de placement. 10^x = b x = (b) (b > 0) • (10^x) = x pour tout réel x, et 10^(b) = b pour tout réel b > 0. • Valeurs exactes : (1) = 0, (10) = 1, (1\,000) = 3, (0,01) = -2. • La fonction est strictement croissante sur ]0\,;\,+[ : (b) 0 si b > 1. b0,010,5123102501\,000 (b)-2-0,301000,30100,477112,39793 2. Propriétés algébriques Pour tous réels a > 0 et b > 0, et tout réel x : • (ab) = (a) + (b) et (a/b) = (a) - (b). • (a^x) = x (a) : l'exposant « descend » devant le logarithme. • Mini-exemple : (200) = (2) + (100) 0,3010 + 2 = 2,3010, et (2^10) = 10 (2) 3,010, donc 2^10 = 1\,024 est compris entre 10^3 et 10^4. 3. Méthode : résoudre q^x = c 1. Vérifier que c > 0 (sinon aucune solution, car q^x > 0), avec q > 0 et q 1. 2. Appliquer aux deux membres : (q^x) = (c), soit x (q) = (c). 3. Diviser par (q) : x = (c)/(q). Pour une inéquation, changer le sens si (q) 4. Contrôler avec deux puissances entières. Exemple : 1,07^x = 2 donne x = 2 1,07 10,24, et l'on a bien 1,07^10 1,967 4. Pièges • Le logarithme d'une somme n'est pas la somme des logarithmes : (200 + 300) = (500) 2,699, alors que (200) + (300) = (60\,000) 4,778. • (1,07^10) = 10 (1,07) 0,2938, à ne pas confondre avec ((1,07))^10, nombre minuscule. • (0) et (-5) n'existent pas : une équation q^x = c avec c 0 n'a pas de solution.

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