Résolution d'une équation exponentielle par changement de variable

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• a q^x = b q^x = b/a, puis x = (b/a)/ q, à condition que b/a > 0. • Changement de variable : poser u = q^x, avec u > 0 ; q^x+k = q^k u. • On résout en u, on rejette toute valeur u 0, puis on revient à x par le logarithme décimal. • Vérification finale dans l'équation de départ.

Le cours

1. Équations du type a q^x = b Dans un modèle de capitalisation, l'inconnue se trouve souvent dans l'exposant : C_0 (1+t)^x = C. Avant d'appliquer le logarithme décimal, on isole la puissance en divisant par son coefficient. a q^x = b q^x = b/a x = (b/a)(q) • Condition : b/a > 0. Si b/a 0, il n'y a aucune solution, car q^x > 0 pour tout réel x. • Mini-exemple : 500 1,02^x = 600 donne 1,02^x = 1,2, puis x = (1,2)(1,02) 9,21. 2. Le changement de variable u = q^x Quand la même puissance q^x apparaît plusieurs fois, ou sous une forme décalée comme q^x+1, on pose u = q^x. L'équation devient une équation du premier degré en u, que l'on sait résoudre depuis la Seconde ; on ne revient à x qu'à la fin, par le logarithme. • Exposant décalé : q^x+1 = q q^x = q\,u et q^x+2 = q^2\,u. • Exemple : 1,5 2^x + 3 = 2^x + 11 devient 1,5u + 3 = u + 11, soit 0,5u = 8 et u = 16 ; puis 2^x = 16 donne x = 16/ 2 = 4. • Comme u = q^x est toujours strictement positif, une valeur u 0 est à rejeter. FormeRéécritureRésolution a q^x = bq^x = b/ax = (b/a)/ q a\,q^x + b = c\,q^x + d(a - c)\,u = d - bu > 0, puis x = u/ q q^x+k + q^x = b(q^k + 1)\,u = bu = bq^k + 1, puis x 3. Méthode en cinq gestes 1. Repérer la puissance commune q^x et réécrire les exposants décalés. 2. Poser u = q^x, avec u > 0. 3. Résoudre l'équation du premier degré en u. 4. Rejeter toute valeur u 0 ; sinon, x = u/ q. 5. Vérifier en remplaçant x dans l'équation de départ. 4. Pièges • 2^x+1 n'est pas 2^x + 1 : pour x = 3, 2^4 = 16 alors que 2^3 + 1 = 9. • Prendre le logarithme avant d'isoler la puissance : (3,2 1,05^x) = (3,2) + x (1,05), et non 3,2 x (1,05). • Oublier la condition u > 0 : 3 1,2^x + 5 = 2 donne u = -1, et l'équation n'a aucune solution.

Dans ce chapitre

• Pourcentages et coefficient multiplicateur de classe de 3e
• Puissances de dix et écriture scientifique de classe de 4e
• Suites géométriques et croissance d'un capital de classe de Première
• Intérêts simples et intérêts composés : calcul année par année
• Rythme de progression des intérêts d'un placement
• Valeur acquise d'un capital placé pendant n périodes
• Valeur actuelle d'une somme à recevoir dans n périodes
• Taux équivalent à plusieurs périodes de capitalisation
• Comparaison de deux plans de remboursement par actualisation
• Taux d'intérêt implicite d'un emprunt et résolution approchée
• Fonction logarithme décimal, réciproque de x 10^x
• Résolution d'une équation exponentielle par changement de variable
• Échéancier d'emprunt et vérification du montant total remboursé
• Bilan : Synthèse et méthode sur Flux financiers, capitalisation et actualisation