Taux d'intérêt implicite d'un emprunt et résolution approchée

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Taux implicite : le taux qui rend équivalentes la somme engagée et les sommes remboursées. • Une seule somme au terme : (1+t)^n = S/C_0, donc t = (S/C_0)^1/n - 1. • Plusieurs versements égaux en fin de période : C_0 = M (q^-1 + q^-2 + + q^-n), à encadrer par des tests. • Resserrer l'encadrement jusqu'au centième de point avant de conclure.

Le cours

1. Le taux implicite : celui qui rend l'opération neutre Lorsqu'un contrat ne donne pas le taux, ou lorsque le coût annoncé ne correspond pas aux euros réellement versés, on cherche le taux d'intérêt t qui rend équivalentes la somme engagée et la somme remboursée. Ce taux s'appelle le taux d'intérêt implicite. • Remboursement en une seule fois : (1+t)^n = S/C_0, où S est la somme versée au terme. • Remboursement par n versements égaux M : C_0 = M (q^-1 + q^-2 + + q^-n) = M 1 - q^-nq - 1, avec q = 1 + t. • La première se résout directement avec la racine n-ième : t = (S/C_0)^1/n - 1. La seconde ne se résout pas par un calcul direct : on encadre t par des tests de valeurs successives. 2. La méthode des tests successifs Selon l'équation, le membre calculé est croissant en t — pour (1+t)^n — ou décroissant — pour la valeur actuelle d'un échéancier d'annuités. Dans les deux cas, deux valeurs calculées encadrent la réponse : la méthode est exacte au sens de l'encadrement et suffit en pratique. • 1. Calculer le membre de gauche pour deux taux voisins, par exemple 5,7\ \% et 5,8\ \%. • 2. Lire l'encadrement : ici 1,319395 • 3. Répéter avec deux taux plus proches jusqu'à la précision utile, souvent le centième de point. • 4. Contrôler le sens économique : un taux implicite supérieur au taux affiché est le signe d'un coût réel supérieur aux apparences. Taux t essayéCoefficient (1+t)^5Valeur acquise de 20\,000\ € 5,7\ \%1,31939526\,387,91\ € 5,8\ \%1,32564826\,512,97\ € 5,79\ \%1,32502226\,500,44\ € 3. Ce que le taux implicite raconte sur le contrat Le taux simple apparent rapporte le total des intérêts au capital engagé et à la durée : intérêts totauxC_0 n. Il suppose des intérêts constants, calculés sur le capital initial pendant toute la durée : c'est un indicateur de charge, pas un taux d'intérêt composé. Selon la nature de l'opération, l'écart avec le taux implicite joue en sens opposé. • Sur un emprunt remboursé progressivement, le taux implicite composé est nettement supérieur au taux simple apparent : 2,79\ \% contre 1,77\ \% dans l'exemple des annuités. Une partie du capital est remboursée avant d'avoir couru pendant toute la durée. • Sur un placement dont le capital n'est pas repris, la situation est inverse : le taux composé implicite est inférieur au taux simple apparent, car les intérêts sont gagnés sur un capital qui croît. • Exemple : 4\,200\ € menés à 5\,600\ € en six ans correspondent à 4,91\ \% par an en composé, contre 5,56\ \% par an en intérêts simples. 4. Pièges • Se contenter du taux affiché : des frais de dossier ou une assurance obligatoire augmentent les sommes réellement versées, donc le taux implicite, qui se calcule sur ces euros-là. • Confondre taux implicite et taux d'intérêts simples : rembourser 26\,500\ € pour 20\,000\ € en cinq ans fait 6\,500/20\,000 5 = 6,5\ \% par an en simple, mais seulement 5,79\ \% en composé. • S'arrêter trop tôt : un encadrement entre 4,7\ \% et 4,8\ \% ne permet pas de départager une offre concurrente affichant 4,74\ \%.

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