Comparaison de deux plans de remboursement par actualisation

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Comparer deux plans, c'est comparer des valeurs actuelles, pas des sommes nominales. • V_0 = M (q^-1 + + q^-n) = M 1 - q^-nq - 1, versements en fin de période. • La première échéance vaut déjà M q ; à montant total égal, un plan payé plus tôt coûte plus cher en valeur actuelle. • Le taux d'actualisation est le coût du capital de l'entreprise, distinct du taux du prêt comparé.

Le cours

1. Deux plans, deux comparaisons, deux résultats Un dirigeant qui choisit entre deux plans de remboursement ne peut pas se contenter d'additionner les sommes versées : un plan qui paie tard coûte moins en valeur présente, même s'il affiche un total plus élevé. La comparaison de référence consiste à ramener chaque versement à la date d'aujourd'hui. • Comparaison nominale : on additionne les échéances. Elle est simple, rassurante, et souvent trompeuse. • Comparaison en valeur actuelle : on actualise chaque échéance au taux du capital de l'entreprise, puis on additionne. • Le taux d'actualisation n'est pas le taux du prêt : c'est un taux propre à l'entreprise (celui auquel elle placerait ou emprunterait son argent), le même pour tous les plans comparés. 2. Actualiser un échéancier régulier Pour un échéancier de n versements égaux de M euros, les versements actualisés forment une suite géométrique de raison q^-1, où q = 1 + t est le coefficient de la période des échéances. • V_0 = M (q^-1 + q^-2 + + q^-n) • Cette somme vaut V_0 = M 1 - q^-nq - 1 : pour quatre versements semestriels à 5\ \% de taux annuel, le coefficient vaut 3,7647. • Le premier versement est déjà distant d'une période : il vaut M q, et non M. ÉchéanceDateVersementValeur actuelle à 5\ \% l'an 16 mois5\,250,00\ €5\,123,48\ € 21 an5\,250,00\ €5\,000,00\ € 318 mois5\,250,00\ €4\,879,50\ € 42 ans5\,250,00\ €4\,761,90\ € Totaux—21\,000,00\ €19\,764,88\ € 3. Méthode en quatre gestes • 1. Choisir le taux d'actualisation et le convertir en taux de la période des échéances : ici 5\ \% l'an donne 2,4695\ \% par semestre, soit q = 1,024695. • 2. Actualiser chaque échéance par M q^k, en numérotant les échéances à partir de k = 1 : la première est déjà distante d'une demi-année. • 3. Faire la somme, ou utiliser la formule pour un échéancier régulier. • 4. Comparer : le plan le moins cher en valeur actuelle est le bon plan, même si son montant total est plus élevé. 4. Pièges de comparaison • Juger sur le seul montant total : ici un plan de 21\,000\ € versés en quatre fois coûte plus cher qu'un plan de 21\,400\ € versé en une seule fois, une fois actualisé. • Actualiser chaque plan à son propre taux d'intérêt : on retrouve alors toujours le capital emprunté, et tous les plans paraissent équivalents. Il faut un taux unique, celui de l'entreprise, pour tous les plans. • Compter la première échéance pour sa valeur nominale : elle arrive dans six mois, elle vaut donc 5\,250 1,024695 = 5\,123,48\ € aujourd'hui et non 5\,250\ €, soit 126,52\ € comptés à tort.

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