Taux équivalent à plusieurs périodes de capitalisation

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Taux équivalent sur m périodes : (1+t)^m - 1. • Taux équivalent d'une période : (1+t_m)^1/m - 1. • On ne divise jamais le taux par le nombre de périodes : 6\ \% / 12 = 0,5\ \% alors que le vrai taux mensuel vaut 0,4868\ \%. • Contrôle : élever le taux périodique trouvé au nombre de périodes doit redonner le taux de départ.

Le cours

1. Deux taux qui décrivent la même opération Un même placement peut être décrit par un taux annuel ou par un taux propre à chaque période de capitalisation. Les deux descriptions sont équivalentes si, au bout de m périodes, elles donnent le même coefficient. C'est la définition d'un taux équivalent. • Du taux d'une période au taux de m périodes : (1 + t)^m - 1. • Du taux de m périodes au taux d'une période : (1 + t_m)^1/m - 1. • Exemple : 4\ \% par an équivaut à (1,04)^1/2 - 1 1,98\ \% par semestre ; inversement, 1,0198^2 1,04 redonne bien 4\ \% sur l'année. Taux annuelSemestrielTrimestrielMensuel 4\ \%1,98\ \%0,99\ \%0,33\ \% 6\ \%2,96\ \%1,47\ \%0,49\ \% 3,6\ \%1,78\ \%0,89\ \%0,30\ \% 2. Méthode : ne jamais diviser le taux par le nombre de périodes Diviser le taux annuel par le nombre de périodes est l'erreur la plus répandue en gestion financière. La capitalisation composée rend le taux annuel supérieur à la somme des taux mensuels : 0,5\ \% par mois donne 1,005^12 - 1 6,17\ \% sur l'année, et non 6\ \%. Le taux mensuel équivalent à 6\ \% par an vaut 0,4868\ \%, qui redonne bien 6\ \% sur une année. • Calcul : (1,06)^1/12 - 1 = 0,004868, soit 0,4868\ \% par mois. • Vérification en trois secondes : 1,004868^12 = 1,060006, on retrouve le taux annuel de départ. • Le taux périodique obtenu sert ensuite à capitaliser ou à actualiser, jamais à comparer deux offres sur une base annuelle sans conversion. 3. Pièges de conversion • Écrire « 0,55\ \% par mois, soit 6,6\ \% par an » : le taux annuel équivalent vaut (1,0055)^12 - 1 = 6,80\ \%. • Multiplier un taux trimestriel par 4 : 4 1,35\ \% = 5,4\ \%, alors que l'équivalent annuel de 1,35\ \% par trimestre vaut (1,0135)^4 - 1 5,51\ \%. • Mélanger les unités : avec un taux mensuel, l'exposant compte des mois. Sur trois ans, on écrit 1,0055^36 et non 1,0055^3.

Dans ce chapitre

• Pourcentages et coefficient multiplicateur de classe de 3e
• Puissances de dix et écriture scientifique de classe de 4e
• Suites géométriques et croissance d'un capital de classe de Première
• Intérêts simples et intérêts composés : calcul année par année
• Rythme de progression des intérêts d'un placement
• Valeur acquise d'un capital placé pendant n périodes
• Valeur actuelle d'une somme à recevoir dans n périodes
• Taux équivalent à plusieurs périodes de capitalisation
• Comparaison de deux plans de remboursement par actualisation
• Taux d'intérêt implicite d'un emprunt et résolution approchée
• Fonction logarithme décimal, réciproque de x 10^x
• Résolution d'une équation exponentielle par changement de variable
• Échéancier d'emprunt et vérification du montant total remboursé
• Bilan : Synthèse et méthode sur Flux financiers, capitalisation et actualisation