Suites arithmétiques et suites géométriques définies par récurrence de classe de 1ère

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Une suite par récurrence se donne par u_1 et u_n+1 = f(u_n) : le rang compte les périodes. • Suite arithmétique : u_n+1 = u_n + r, la raison r est exprimée en euros. • Suite géométrique : u_n+1 = q u_n avec q = 1 + t/100, la raison q est sans unité. • Une phrase en euros conduit à une addition, une phrase en pourcentage à une multiplication.

Le cours

1. Une suite décrite par une relation entre deux termes consécutifs Dans une prévision de ventes, on note u_n le chiffre d'affaires du trimestre de rang n, exprimé en milliers d'euros. Le premier trimestre observé est le rang 1. Une suite est définie par récurrence lorsqu'on donne le premier terme u_1 et la relation qui relie chaque terme au précédent, sous la forme u_n+1 = f(u_n). • Le rang compte les périodes, pas les années : le premier trimestre 2023 est le rang 1, le premier trimestre 2024 est le rang 5. • La relation est soit l'ajout d'un montant fixe, soit une multiplication par un coefficient : u_n+1 = u_n + r ou bien u_n+1 = q u_n. • Une suite se décrit donc par deux choses seulement : une valeur de départ et une règle de passage. Une longue liste de montants observés n'est pas une définition. 2. Deux familles à distinguer avant tout calcul Toutes les situations de prévision ne relèvent pas de la même famille. La suite arithmétique fait varier les euros d'une quantité constante, la suite géométrique fait varier le montant d'un pourcentage constant du terme précédent. FamilleRelationGrandeur fixéeExemple de gestion Arithmétiqueu_n+1 = u_n + rr en euroschaque trimestre facturé 45\ k€ de plus Géométriqueu_n+1 = q u_nq sans unitéchaque trimestre vaut 106\ \% du précédent Constanteu_n+1 = u_nr = 0 ou q = 1abonnements reconduits à l'identique • r se lit en euros et q se lit sans unité : c'est la première question à se poser devant une phrase de gestion. • Le sens de variation se lit sur la raison : r 0, ou 0 q 1 avec des termes positifs, donne une suite décroissante ; r = 0 ou q = 1 donne une suite constante. • Des écarts en euros qui grandissent d'une période à l'autre annoncent une multiplication : avec une addition, l'écart reste le même à chaque période. 3. Méthode : traduire une phrase de gestion en récurrence Une relation de récurrence s'obtient en trois questions, dans cet ordre. On les pose systématiquement avant de calculer le moindre terme. • Question 1, le point de départ : quel est le montant, et à quel rang se place-t-il ? Sans cela, la suite n'est pas indexée. • Question 2, le mécanisme : l'évolution porte-t-elle sur une somme fixe en euros, ou sur un pourcentage du chiffre d'affaires précédent ? • Question 3, la nature du montant : s'agit-il d'un encaissement de la période, ou d'un cumul depuis le début de l'exercice ? Un cumul ne se modélise pas par une récurrence multiplicative. • Question bonus : l'évolution est-elle identique d'une période à l'autre ? Une opération exceptionnelle, sur une seule période, se traite comme un terme corrigé et non comme une règle. 4. Point de vigilance : les euros et les pourcentages ne se mélangent pas Un chiffre d'affaires qui augmente de 6\ \% chaque trimestre n'est pas une suite arithmétique. L'écart en euros change à chaque période, parce que le pourcentage porte sur une base qui vient de grossir : si le chiffre double, l'écart en euros double aussi. Inversement, un abonnement de 250\ € par trimestre ajoute une somme fixe à un chiffre d'affaires qui lui-même évolue : la suite obtenue n'est alors ni arithmétique ni géométrique. C'est le signal que le modèle doit être construit, et non recopié d'une formule toute faite.

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