Résolution d'une récurrence du premier ordre par recherche d'une suite géométrique

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Récurrence du premier ordre : u_n+1 = a\,u_n + b ; si a = 1, la suite est arithmétique. • Solution stationnaire : L = b/1-a, calculée avec son signe. • Soustraction : v_n = u_n - L donne une suite géométrique de raison a. • Formule : u_n = L + (u_1 - L) \, a^\,n-1, à contrôler par la récurrence.

Le cours

1. Chercher la suite constante qui rend la suite géométrique Une récurrence du premier ordre u_n+1 = a u_n + b se résout par une soustraction astucieuse. L'idée est de chercher la valeur L que prendrait la suite si elle devenait constante : il suffit alors d'écrire L = a L + b, d'où L(1-a) = b, donc : L = b/1-a • Cette valeur L s'appelle la solution stationnaire : si u_1 = L, tous les termes valent L et la suite est constante. • Le calcul n'a de sens que si a 1 : si a = 1, la relation s'écrit u_n+1 = u_n + b, et la suite est arithmétique. • L peut être négatif : c'est le cas dès que b > 0 et a > 1, et cela ne pose aucun problème mathématique. 2. La soustraction fait apparaître une suite géométrique On pose v_n = u_n - L et on remplace dans la relation d'origine : v_n+1 = u_n+1 - L = a \, u_n + b - L = a(u_n - L) + aL + b - L = a \, v_n + L(a - 1) + b = a \, v_n puisque L(a-1) + b = -b + b = 0. La suite (v_n) est donc géométrique de raison a, ce qui donne la formule : u_n = L + (u_1 - L) a^\,n-1 • La formule se vérifie au rang 1 : L + (u_1 - L) a^0 = u_1. • La formule se vérifie en dynamique : si elle est vraie au rang n, elle est vraie au rang n+1. • Elle permet d'atteindre un rang élevé sans calculer tous les termes intermédiaires. Résolution de u_n+1 = 1,03\,u_n + 25 avec u_1 = 400 Rangu_n par la formuleu_n par la récurrence 1400,00400,00 2437,00437,00 3475,11475,11 4514,36514,36 12873,89873,89 3. Méthode : quatre étapes, dans cet ordre • Étape 1, isoler a et b dans la phrase ou dans la relation, et noter que a 1. • Étape 2, calculer L = b/1-a en gardant le signe, et l'écrire avec sa valeur décimale complète. • Étape 3, calculer u_1 - L, qui est le premier terme de la suite géométrique transformée. • Étape 4, appliquer u_n = L + (u_1 - L) a^\,n-1 puis contrôler le résultat par la récurrence au rang 2 et au rang 3. 4. Point de vigilance : la solution stationnaire n'est pas une limite Lorsque a > 1, la suite s'éloigne de L au lieu de s'en rapprocher : dans la relation u_n+1 = 1,05\,u_n - 30 avec u_1 = 400, on trouve L = 600, alors que la suite décroît de 400 à 257,9\ k€ au douzième rang. L n'est une limite que si 0 Enfin, la formule est une aide au calcul, pas une prévision : si le coefficient a dépend du rang, ou si un terme exceptionnel intervient, seule la récurrence reste valable.

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