Taux d'évolution moyen sur plusieurs périodes

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Taux d'évolution moyen : q = (u_f/u_d)^1/n, donc un taux de q - 1. • n compte les applications de la période : de 2023 à 2025, n = 2. • La moyenne des taux n'est pas le taux moyen : c'est un taux composé. • Contrôle : q^n doit redonner u_f/u_d ; un encadrement entre deux coefficients voisins détecte une erreur d'exposant.

Le cours

1. Le taux moyen est un taux composé Lorsqu'une grandeur passe de u_d à u_f en n périodes, le taux moyen par période n'est pas la moyenne des taux observés : c'est le coefficient q qui vérifie u_f = u_d q^n. On l'appelle taux d'évolution moyen. • Formule : q = (u_f/u_d)^1/n, et le taux moyen vaut q - 1, exprimé en pourcentage. • Le nombre de périodes n compte les applications, pas les jalons : de 2023 à 2025, il y a deux applications. • L'exposant 1/n se lit « racine n-ième » : la calculatrice donne q directement, et l'on contrôle que q^n redonne le rapport u_f/u_d. 2. Application aux niveaux annuels d'Equip'Ailes Les niveaux moyens de l'enseigne sont de 430, puis 470, puis 510\ k€. Le rapport de progression vaut 510/430 1,18605 sur deux ans, et le taux moyen annuel s'en déduit. • 1,0889^2 1,1857 1,18605 1,0891^2 1,1861 : le coefficient est encadré. • Donc q 1,0891, soit un taux moyen annuel d'environ 8,91\ \%. • Les +40\ k€ annuels représentent 9,3\ \% de 430 mais seulement 8,5\ \% de 470 : une hausse constante en euros donne des taux qui diminuent, et le taux moyen se situe entre les deux. 3. Encadrer un taux moyen sans calculatrice Le calcul consiste à comparer le rapport u_f/u_d aux puissances de deux coefficients voisins. Deux essais suffisent généralement à encadrer le résultat à un point de pourcentage près. • Exemple : pour q = 1,09, 1,09^2 = 1,1881, supérieur à 1,18605 ; pour q = 1,08, 1,08^2 = 1,1664, inférieur. • Le taux moyen est donc compris entre 8\ \% et 9\ \% par an, avant tout raffinement. • La calculatrice donne ensuite la valeur précise, q 1,0891 : l'encadrement sert à détecter une erreur de saisie ou d'exposant. 4. Point de vigilance : la moyenne des taux n'est pas le taux moyen Des taux +18\ \%, -12\ \% et +6\ \% ont pour moyenne arithmétique 4\ \%. Or le niveau final atteint 1,18 0,88 1,06 = 1,1007 du niveau initial, soit un taux moyen de 3,25\ \% par période. La différence vient de ce que les coefficients se multiplient au lieu de s'additionner : la baisse de 12\ \% porte sur une base déjà gonflée par la hausse de 18\ \%, et retire donc plus d'euros que si elle portait sur la base initiale. L'erreur classique consiste à annoncer « le chiffre d'affaires progresse de 4\ \% par an » à partir de la moyenne des taux, puis à appliquer ce taux à une base croissante : la prévision surestime alors le niveau final.

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