Récurrence et formule explicite d'une suite géométrique de raison positive

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Récurrence : u_n+1 = q u_n avec u_1 donné. Formule explicite : u_n = u_1 q^\,n-1. • L'exposant n-1 compte les évolutions depuis le premier terme, et non le rang. • Une puissance élevée se calcule à la machine et se contrôle par élévations au carré : q^8 = ((q^2)^2)^2. • Une formule explicite n'a de sens que si q reste constant sur toute la période projetée.

Le cours

1. Les deux écritures d'une suite géométrique Une suite géométrique de raison q admet deux écritures équivalentes. La récurrence u_n+1 = q u_n se lit terme par terme et sert à comprendre le mécanisme. La formule explicite u_n = u_1 q^\,n-1 donne directement le terme de rang n, y compris lorsque n est élevé. • La récurrence oblige à calculer tous les termes intermédiaires : cinq multiplications pour un rang 6. • La formule explicite exige une seule puissance : u_12 = u_1 q^11. • Les deux écritures doivent conduire au même montant : c'est le meilleur contrôle de la mise en équation. 2. L'exposant compte le nombre d'évolutions L'exposant n'est pas le rang, mais le nombre de multiplications par q effectuées depuis le premier terme observé. Si le premier trimestre est numéroté 1, le trimestre de rang n a subi n-1 évolutions, d'où l'exposant n-1. • Au rang 1, l'exposant vaut 0 et q^0 = 1 : on retrouve bien u_1. • Au rang 2, l'exposant vaut 1 : le coefficient est q, celui de la première application. • Si l'on numérote à partir de 0, la formule devient u_n = u_0 q^n : l'indice et l'exposant changent ensemble, jamais l'un sans l'autre. 3. Calculer une puissance élevée sans table de valeurs La calculatrice ou le tableur donnent directement q^\,n-1. Pour contrôler l'ordre de grandeur, ou en l'absence de machine, on élève le coefficient au carré deux ou trois fois, puis on multiplie les puissances obtenues. • Exemple : 1,08^4 1,3605, donc 1,08^8 1,8509, et enfin 1,08^11 = 1,08^8 1,08^2 1,08. • Trois élévations au carré donnent q^8, là où il faudrait sept multiplications successives : il y a moins d'occasions de se tromper de rang. • Conserver un chiffre de plus que le résultat final, car les arrondis s'additionnent sur douze mois de prévision. 4. Point de vigilance : la formule explicite suppose un taux constant La formule u_n = u_1 q^\,n-1 n'est valable que si le coefficient q reste le même du premier au dernier trimestre. Dès qu'une opération commerciale, une saturation de marché ou une perte de client modifie le taux, la formule décrit une fiction : le montant obtenu n'est plus un chiffre d'affaires réaliste. La récurrence, elle, reste utilisable terme par terme : on peut y introduire un coefficient différent pour chaque période. C'est pourquoi un prévisionnel professionnel se construit en récurrence, puis se vérifie en formule explicite.

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