Récurrence du second ordre entre trois termes consécutifs

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Récurrence du second ordre : u_n+2 = a \, u_n+1 + b \, u_n + c, avec deux termes initiaux obligatoires. • a et b sont des taux de reconduction, c un montant de nouveaux contrats. • On avance d'un rang à chaque étape : le nouveau terme entre dans les deux calculs suivants. • Inverser a et b ne change pas l'historique mais fausse toute la prévision.

Le cours

1. Une relation qui fait intervenir trois termes Certaines activités dépendent de deux exercices successifs : un contrat reconduit l'an dernier, un contrat de durée plus longue encore actif. Le chiffre d'affaires de l'année n+2 dépend alors de l'année n+1 et de l'année n. On écrit une récurrence du second ordre : u_n+2 = a u_n+1 + b u_n + c • Il faut deux termes initiaux u_1 et u_2 : une seule valeur ne suffit pas à démarrer. • Chaque terme se calcule à partir des deux précédents : on avance d'un rang à chaque étape, jamais de deux. • Les coefficients a et b sont sans unité, et c est exprimé en euros. • Une telle relation décrit un mécanisme de reconduction, pas une extrapolation de tendance : elle reste valable tant que le taux de reconduction ne change pas. Chiffre d'affaires annuel de Maintenix décomposé selon la relation (k€) AnnéeCA (k€)0,7 CA de l'année précédente0,2 CA de deux ans avantNouveaux contrats 20231\ 720 (observé)——— 20241\ 880 (observé)——— 20252\ 0601\ 316344400 20262\ 2181\ 442376400 20272\ 364,61\ 552,6412400 2. Le mécanisme de reconduction chez Maintenix Chez Maintenix, 70\ \% du chiffre d'affaires d'une année se reconduit l'année suivante, 20\ \% du chiffre d'affaires d'une année se retrouve encore deux ans plus tard (contrats de longue durée), et 400\ k€ de nouveaux contrats sont signés chaque année. D'où la relation u_n+2 = 0,7\,u_n+1 + 0,2\,u_n + 400. • 0,7 est le taux de reconduction à un an, 0,2 le taux de reconduction à deux ans. • Les 400\ k€ représentent les nouveaux contrats, non reconduits : ils s'ajoutent, ils ne se multiplient pas. • Comme 0,7 + 0,2 = 0,9 1, l'activité reconduite seule s'éteindrait peu à peu : ce sont les 400\ k€ de nouveaux contrats qui entretiennent la croissance. Le niveau d'équilibre L vérifie L = 0,9\,L + 400, soit L = 4\ 000\ k€. 3. Méthode : les quatre gestes Le calcul d'une récurrence du second ordre suit toujours la même marche. • Écrire les deux premiers termes dans l'ordre chronologique, en précisant leur rang. • Appliquer la relation une première fois pour obtenir le troisième terme, puis réutiliser ce nouveau terme comme terme le plus récent. • Contrôler chaque terme calculé en recomposant ses trois parts (reconduction à un an, à deux ans, nouveaux contrats), comme dans le tableau. • Vérifier que le coefficient a multiplie bien le terme le plus récent et b le plus ancien : c'est l'ordre des coefficients qui porte le sens économique. 4. Point de vigilance : les coefficients sont attachés à leur terme Écrire u_n+2 = 0,2\,u_n+1 + 0,7\,u_n + 400 au lieu de u_n+2 = 0,7\,u_n+1 + 0,2\,u_n + 400 ne change pas les deux premiers termes connus, mais change tous les suivants. Le taux de reconduction à un an n'est pas le taux de reconduction à deux ans : inverser les coefficients revient à appliquer la courte durée à la longue durée. L'erreur coûte cher dans un budget : avec les coefficients inversés, l'exercice 2027 est sous-estimé de 156,2\ k€, soit 6,6\ \% du montant donné par le modèle correct.

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