Prévision par lissage exponentiel et choix du coefficient

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Lissage exponentiel : p_n+1 = \, x_n+1 + (1 - )\, p_n, avec p_1 = x_1. • faible : lissage fort et retard important ; élevé : réactivité et bruit. • Sur une série sans tendance, 0,2 réduit fortement l'amplitude résiduelle. • Le lissage ne capture pas la saisonnalité : à combiner avec les indices saisonniers.

Le cours

1. Une estimation qui retient surtout le dernier chiffre d'affaires Le lissage exponentiel estime la valeur d'une période comme une moyenne pondérée de la dernière valeur observée et de l'estimation précédente : p_n+1 = x_n+1 + (1 - ) p_n où x_n+1 est le montant observé, p_n l'estimation précédente, et un coefficient compris entre 0 et 1. On démarre par p_1 = x_1. • = 0,4 signifie : 40\ \% du dernier chiffre d'affaires observé et 60\ \% de l'estimation précédente. • Chaque estimation dépend donc de toutes les observations précédentes, mais avec des poids de plus en plus faibles. • Le lissage exponentiel est surtout adapté à la prévision de court terme : le trimestre ou le mois suivant. Lissage exponentiel de la série d'Equip'Ailes avec = 0,4 Trimestre202320242025 T1 observé365400435 T2 observé413451490 T3 observé430470510 T4 observé512559605 Estimation p_n365,00 ; 384,20 ; 402,52 ; 446,31427,79 ; 437,07 ; 450,24 ; 493,75470,25 ; 478,15 ; 490,89 ; 536,53 2. Un exemple qui montre le retard du lissage Avec = 0,4, l'estimation du premier trimestre 2024 vaut 427,79\ k€ alors que le chiffre d'affaires observé est de 400\ k€ : l'estimateur réagit avec retard à la baisse. Au quatrième trimestre, l'estimateur reste en dessous du pic saisonnier. • La courbe estimée ne reproduit jamais les pics : elle les amortit au lieu de les prévoir. • Elle est en revanche bien moins irrégulière que la série brute : le creux du premier trimestre et le pic du quatrième y sont fortement atténués. • Associée aux indices saisonniers, elle donne une prévision trimestrielle raisonnable : c'est le couple qui fonctionne. 400 450 500 550 600 650 CA (k€) T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4 T1 T2 T3 T4 2023 2024 2025 CA observé Estimation lissée 3. Choisir le coefficient : le compromis central ne se choisit pas au hasard : il arbitre entre deux défauts. Un coefficient faible lisse beaucoup, mais l'estimation suit lentement l'activité ; un coefficient élevé réagit vite, mais laisse passer les fluctuations aléatoires. • Critère pratique : comparer l'amplitude des estimations à celle des montants observés, sur une série de niveau connu. • Sur une série sans tendance, = 0,2 ramène l'amplitude de 17\ k€ observée à 4,5\ k€, tandis que = 0,6 la laisse à 8,4\ k€. • Sur une série en croissance, un coefficient trop faible est au contraire pénalisé : l'estimation reste constamment en retard sur les montants observés, d'autant plus que est petit. • Une fois choisi, il faut le conserver : changer de coefficient d'un trimestre à l'autre fausse la série d'estimations. 4. Point de vigilance : le lissage exponentiel ne connaît pas l'année La relation ne contient ni indice saisonnier ni niveau de tendance : appliquée telle quelle à la série d'Equip'Ailes, elle donne 536,53\ k€ au quatrième trimestre 2025, très en dessous des 605\ k€ observés. Elle lisse la saisonnalité au lieu de la reproduire. Le premier terme p_1 = x_1 pèse aussi : avec un petit , une valeur initiale modeste décale toute la série d'estimations pendant plusieurs périodes. Une initialisation par la moyenne des deux ou trois premiers termes évite ce biais de départ.

Dans ce chapitre