Suites arithmético-géométriques dans une prévision de chiffre d'affaires

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Suite arithmético-géométrique : u_n+1 = a u_n + b, avec a sans unité et b en euros. • Écarts en euros croissants et taux décroissants : c'est la signature du modèle. • b 0 : apports nouveaux à chaque période ; b 0 : pertes (résiliations) à chaque période. • Le modèle ignore la saisonnalité : il s'applique à des données annuelles ou corrigées des variations saisonnières.

Le cours

1. Une croissance à laquelle s'ajoute un montant fixe Beaucoup d'activités de gestion mêlent deux mécanismes : une évolution en pourcentage du chiffre d'affaires déjà acquis, et un montant fixe ajouté (ou retiré) à chaque période, qui ne dépend pas du niveau d'activité. On obtient alors une suite arithmético-géométrique, dont la récurrence s'écrit u_n+1 = a u_n + b. • a est le coefficient de croissance, sans unité : 1,02 pour une hausse de 2\ \% par trimestre. • b est le montant ajouté à chaque période, en euros : chiffre d'affaires apporté par de nouveaux contrats (b 0), ou perdu par des résiliations (b 0). • La suite n'est ni arithmétique (les écarts ne sont pas constants) ni géométrique (les taux ne sont pas constants). 2. Des contrats nouveaux sur un chiffre d'affaires qui croît Chez un grossiste de fournitures de bureau, le chiffre d'affaires d'un trimestre est égal à celui du trimestre précédent augmenté de 2\ \%, auquel s'ajoutent 22\ k€ apportés par les nouveaux contrats de maintenance signés pendant le trimestre. Son chiffre d'affaires trimestriel suit alors u_n+1 = 1,02 u_n + 22 avec u_1 = 480\ k€. Grossiste de fournitures de bureau : +2\ \% et 22\ k€ de contrats nouveaux par trimestre RangTerme (k€)Écart avec le terme précédentTaux de ce trimestre 1480,00—— 2511,60+31,606,6\ \% 3543,83+32,236,3\ \% 4576,71+32,886,0\ \% 5610,24+33,535,8\ \% 6644,45+34,205,6\ \% 7679,34+34,895,4\ \% 8714,92+35,585,2\ \% • Les écarts augmentent : +31,60, puis +32,23, puis +32,88\ k€. La suite n'est donc pas arithmétique. • Les taux, eux, baissent : 6,6\ \%, puis 6,3\ \%, puis 6,0\ \% : la suite n'est donc pas géométrique non plus. • Le taux se rapproche de 2\ \% : à long terme, l'apport fixe de 22\ k€ devient négligeable devant un chiffre d'affaires qui grossit. 3. Méthode : construire puis interpréter Une récurrence arithmético-géométrique se travaille en quatre gestes, et son résultat se lit de deux façons. • Séparer la phrase de gestion en deux montants : ce qui croît en pourcentage, et ce qui est fixe. • Écrire la récurrence avec le coefficient en premier, puis le montant fixe ; vérifier qu'un seul terme est connu au départ. • Calculer les premiers termes à la machine, en conservant deux décimales au moins. • Lire le résultat en euros pour le budget, et en taux pour le rythme de progression : un modèle arithmético-géométrique fait les deux. 4. Point de vigilance : le domaine de validité du modèle Le modèle u_n+1 = a\,u_n + b ne contient aucune saisonnalité : il convient à des données annuelles, ou à des données trimestrielles déjà corrigées des variations saisonnières. Appliqué à une série trimestrielle brute, il ne reproduit ni le creux du premier trimestre ni le pic de fin d'année. Un montant fixe négatif, par exemple 250\ k€ de contrats résiliés et non remplacés chaque trimestre, peut rendre le terme calculé négatif au bout de quelques périodes. Un chiffre d'affaires négatif n'a aucun sens économique : il signale que le modèle est utilisé hors de son domaine de validité.

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