Indépendance de deux événements et règle des produits de classe de Première

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• P(A B) est la probabilité que les deux événements se produisent en même temps. • A et B sont indépendants si P(A B) = P(A) P(B), donc si P_B(A) = P(A). • Deux tirages sans remise dans un petit lot sont dépendants : la règle des produits ne s'y applique pas. • L'indépendance se vérifie sur les données en comparant fréquence observée et produit des fréquences.

Le cours

1. Deux événements, et le fait qu'ils se produisent ensemble Sur un même contrôle, on peut se demander si deux faits se réalisent en même temps : la carte est non conforme et la commande est en retard, la pièce défectueuse et la seconde pièce aussi. On note A et B ces deux événements, et A B l'événement où ils se produisent tous les deux. • P(A B) est la probabilité que les deux événements se réalisent simultanément. • A et B sont indépendants lorsque P(A B) = P(A) P(B). • Traduction opérationnelle : savoir que B s'est produit ne change rien à P(A), donc P_B(A) = P(A). • Deux événements contraires ne sont jamais indépendants, sauf si l'un des deux a une probabilité nulle. 2. La règle des produits s'applique quand les aléas sont séparés Le contrôleur ne multiplie deux probabilités que lorsque la réalisation de l'un des événements ne modifie pas la probabilité de l'autre : deux ateliers, deux machines, deux jours de production, ou deux pièces prélevées dans un lot très large. • Deux cartes prélevées dans un lot de plusieurs milliers de pièces : le sort de l'une ne modifie pas celui de l'autre. • Deux ateliers indépendants qui produisent chacun leur propre lot : les aléas sont séparés. • Deux pièces prélevées sans remise dans un lot de 20 pièces : la seconde dépend de la première, la règle des produits est alors fausse. Départ 0,975 0,025 C N 0,975 0,025 0,975 0,025 C N C N 0,975² ≈ 0,9506 0,975 × 0,025 ≈ 0,0244 0,025 × 0,975 ≈ 0,0244 0,025² ≈ 0,0006 1re puis 2e carte. C : conforme ; N : non conforme. Tirages indépendants : on multiplie le long de chaque chemin. 3. Confronter l'indépendance aux chiffres du contrôle Sur des données réelles, l'indépendance se vérifie : on compare la fréquence observée des deux événements et le produit des fréquences individuelles. • Sur 200 paires de cartes, 4 sont non conformes des deux côtés : P(A B) = 4/200 = 0,020. • P(A) P(B) = 0,100 0,200 = 0,020 : les données sont compatibles avec l'indépendance. • Si les deux valeurs s'écartaient nettement, il faudrait chercher une cause commune : même machine, même série, même opérateur.

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