Probabilité d'au moins un défaut dans un lot

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• P(X 1) = 1 - (1 - p)^n : probabilité de détecter au moins un défaut dans n pièces. • Le passage par l'événement contraire est obligatoire : P(X = 0) = (1 - p)^n. • Pour m lots indépendants : 1 - (1 - P)^m où P est la probabilité de détection d'un lot. • Cette probabilité croît avec n et avec p : c'est la formule de dimensionnement des plans.

Le cours

1. L'événement « au moins un défaut » et son contraire Le responsable qualité veut savoir s'il a des chances de repérer un problème. Il ne se demande pas combien il en verra, mais seulement s'il en verra au moins un : c'est la question la plus simple à traiter, et de loin la plus rapide. • Le contraire de « au moins un défaut » est « aucun défaut », soit l'événement X = 0. • P(X = 0) = (1 - p)^n : il faut que les n épreuves soient toutes des échecs. • D'où la formule la plus rapide du chapitre : P(X 1) = 1 - (1 - p)^n. • La formule vaut pour un échantillon : pour m lots contrôlés indépendamment, chacun détecté avec la probabilité P, la probabilité qu'au moins un lot révèle un défaut vaut 1 - (1 - P)^m. 2. Ce que la formule dit du dimensionnement La formule 1 - (1 - p)^n est l'outil de dimensionnement des plans d'échantillonnage : elle relie le taux de non-conformités du lot au nombre de pièces à contrôler. • Plus n augmente, plus 1 - (1 - p)^n se rapproche de 1 : on finit toujours par détecter un défaut, dès lors que le taux de non-conformités n'est pas nul. • Plus p est élevé, plus la détection est rapide : quelques pièces peuvent alors suffire. • Pour p = 0,02 et n = 30, on ne détecte un défaut que dans 45,45\ \% des contrôles : plus de la moitié des contrôles ne révèle rien du tout. n cartes contrôlées1 - (1 - 0,02)^n1 - (1 - 0,04)^n 100,18290,3352 200,33240,5580 300,45450,7061 400,55430,8046 500,63580,8701 1000,86740,9831 1490,95070,9977 3. Les confusions du « au moins un » • Écrire 1 - p au lieu de 1 - (1 - p)^n : on calcule alors la probabilité qu'une seule pièce soit non conforme, et non qu'il y en ait au moins une dans tout l'échantillon. • Appliquer la formule à la taille du lot livré au lieu de la taille de l'échantillon contrôlé : la probabilité de détection est alors surestimée. • Répondre par une probabilité de nombre exact : « au moins un » n'est pas « exactement un ».

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