Probabilité d'un nombre exact de pièces non conformes

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k : probabilité d'un nombre exact de non-conformités. • « Exactement k » est un événement unique ; « au moins k » exige une somme de termes. • « Au moins k » : P(X k) = 1 - P(X k - 1), qui demande moins de termes. • Les probabilités P(X = k) s'additionnent, car les événements \X = k\ sont incompatibles.

Le cours

1. Un nombre exact de non-conformités La question la plus fréquente du service qualité est précise : combien de chances a-t-on de trouver exactement k pièces non conformes dans un échantillon de n pièces ? C'est une lecture directe de la loi binomiale. • P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k pour un nombre exact de non-conformités. • k est un entier de 0 à n : k = 0 signifie « aucune pièce non conforme ». • Les événements \X = 0\, \X = 1\, , \X = n\ sont deux à deux incompatibles : P(X = 2 ou X = 3) = P(X = 2) + P(X = 3). • Le résultat se lit directement dans la ligne du tableau de la loi correspondant à k. k50kP(X = k) pour n = 50 et p = 0,06Probabilité cumulée P(X k) 010,04530,0453 1500,14470,1900 21\,2250,22620,4162 319\,6000,23110,6473 4230\,3000,17330,8206 52\,118\,7600,10180,9224 2. Passer par l'événement contraire quand il compte moins de termes Pour un événement du type « au moins k », la somme directe compte beaucoup de termes, de k jusqu'à n. L'événement contraire « au plus k - 1 » n'en compte que k, de 0 à k - 1. • P(X k) = 1 - P(X k - 1) : pour n = 50 et k = 3, on calcule 3 termes au lieu de 48. • Si la probabilité cherchée est très petite (k loin au-dessus de np), on additionne plutôt directement les quelques termes concernés : une soustraction à 1 effacerait les chiffres significatifs. • Garder au moins quatre décimales : avec le tableau, P(X 3) = 1 - 0,4162 = 0,5838. 3. Le vocabulaire des événements • « Exactement 2 » et « au moins 2 » ne sont pas le même événement : le premier compte un terme, le second en compte plusieurs. • Écrire nk avec un indice différent de celui de la puissance : le résultat ressemble à une probabilité sans être celle de l'événement demandé. • Une probabilité très petite n'est jamais nulle : entre 0,0001 et 0,0004 l'événement reste possible, il est seulement improbable.

Dans ce chapitre

• Probabilité d'un événement et somme des probabilités de classe de 5e
• Indépendance de deux événements et règle des produits de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli et espérance d'une variable aléatoire de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli : succès, échec et probabilité associée
• Loi binomiale d'une variable comptant des succès sur n épreuves
• Espérance et variance d'une variable binomiale
• Calcul de probabilités binomiales par les coefficients du binôme
• Probabilité d'un nombre exact de pièces non conformes
• Probabilité d'au moins un défaut dans un lot
• Probabilité d'un intervalle de non-conformité
• Plan d'échantillonnage et dimension d'un lot de contrôle
• Risque de refus du lot et arbitrage entre risque alpha et risque bêta
• Règle de décision d'un plan de contrôle statistique
• Bilan : Synthèse et méthode sur Risque de non-conformité et loi binomiale en contrôle qualité