Épreuve de Bernoulli : succès, échec et probabilité associée

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Épreuve de Bernoulli : deux issues seulement, de probabilités p et 1 - p. • Le succès est défini par l'énoncé : en contrôle qualité, succès = non-conformité. • Variable indicatrice valant 1 sur un succès : P(X = 1) = p et E(X) = p. • Conversions utiles : 3\ \% 0,03, 1 sur 40 0,025, 5 pour 20\,000 0,00025.

Le cours

1. Deux issues, un seul paramètre Le banc de vérification de l'Imprimerie Delorme examine une carte et renvoie une réponse binaire : la carte est non conforme, ou elle ne l'est pas. Une expérience dont l'issue ne peut être que l'une ou l'autre de ces deux réponses s'appelle une épreuve de Bernoulli. • Le succès porte une probabilité notée p, l'échec la probabilité 1 - p, et ces deux valeurs ont une somme égale à 1. • En contrôle qualité, le succès est choisi par le dossier : succès = carte non conforme, donc p est le taux de non-conformité du lot. • Si l'on code X = 1 sur un succès et X = 0 sur un échec, alors P(X = 1) = p et E(X) = p. Contrôle d'une carte p = 0,03 1 − p = 0,97 Non conforme succès Conforme échec Le succès est défini par le dossier : ici, la carte est non conforme. 2. Lire le taux dans le dossier du fournisseur Avant tout calcul, le responsable qualité traduit l'information reçue en une probabilité. Le résultat ne change pas, seule l'écriture change, et c'est là que se logent les erreurs. • « 3\ \% de non-conformités » donne p = 0,03. • « 5 pièces défectueuses pour 20\,000 » donne p = 5/20000 = 0,00025. • « 1 pièce sur 40 » donne p = 1/40 = 0,025. • Après la conversion, on vérifie toujours que 0 p 1 : un pourcentage supérieur à 100\ \% signale une erreur de lecture du dossier. 3. Ce que le taux ne dit pas • Une carte isolée n'a pas de taux : elle est conforme ou non conforme, rien d'autre. • Le taux p décrit le lot contrôlé ; le taux moyen de la production d'un fournisseur peut être différent du taux réel du lot livré. • Écrire 1 - p ne donne pas « un autre taux de non-conformités », mais le taux de conformité : c'est l'inversion du sens de l'épreuve qui produit le contresens.

Dans ce chapitre

• Probabilité d'un événement et somme des probabilités de classe de 5e
• Indépendance de deux événements et règle des produits de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli et espérance d'une variable aléatoire de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli : succès, échec et probabilité associée
• Loi binomiale d'une variable comptant des succès sur n épreuves
• Espérance et variance d'une variable binomiale
• Calcul de probabilités binomiales par les coefficients du binôme
• Probabilité d'un nombre exact de pièces non conformes
• Probabilité d'au moins un défaut dans un lot
• Probabilité d'un intervalle de non-conformité
• Plan d'échantillonnage et dimension d'un lot de contrôle
• Risque de refus du lot et arbitrage entre risque alpha et risque bêta
• Règle de décision d'un plan de contrôle statistique
• Bilan : Synthèse et méthode sur Risque de non-conformité et loi binomiale en contrôle qualité