Calcul de probabilités binomiales par les coefficients du binôme

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• nk = n!/k!\,(n - k)! compte les placements de k succès parmi n épreuves. • Pascal : nk = n - 1k - 1 + n - 1k ; symétrie : nk = nn - k. • La loi complète le compte par les puissances : P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k. • Les coefficients se lisent ligne n, rang k à partir de 0 ; les bords valent toujours 1.

Le cours

1. Le coefficient binomial compte des placements Pour obtenir la loi binomiale, il faut savoir combien de façons il existe de placer k succès parmi n épreuves. Ce nombre entier s'appelle le coefficient binomial : il ne porte aucune information probabiliste, il compte seulement. • nk = n!/k!\,(n - k)! est le nombre de façons de choisir k épreuves gagnantes parmi n épreuves. • Les bords valent toujours 1 : n0 = nn = 1. • Symétrie : nk = nn - k, la ligne se lit de gauche à droite comme de droite à gauche. • Relation de Pascal : nk = n - 1k - 1 + n - 1k. nn0n1n2n3n4n5n6n7n8 01 111 2121 31331 414641 515101051 61615201561 7172135352171 818285670562881 2. Prolonger une ligne sans jamais calculer de factorielle Dès que n dépasse 10, la formule devient pénible à calculer à la main. La règle de Pascal donne une addition par coefficient, ce qui est plus rapide et sans risque d'arrondi. • Chaque coefficient est la somme des deux coefficients qui le surplombent : nk = n - 1k - 1 + n - 1k. • La ligne n comporte n + 1 coefficients et leur somme vaut 2^n, le nombre total de placements possibles. • Le triangle se prolonge indéfiniment : passer de la ligne 8 à la ligne 12 ne demande que quatre lignes supplémentaires. • Le contrôle de lecture est immédiat : la ligne doit être symétrique, comme la ligne 8 : 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1. 3. Deux confusions qui passent inaperçues • Confondre nk et kn : pour k • Oublier les puissances de p : le triangle donne un compte, la loi binomiale exige en plus p^k (1 - p)^n - k. • Se décaler d'un rang en lisant la ligne : les coefficients se numérotent à partir de k = 0, donc dans la ligne 8 la valeur 56 est à la fois 83 et 85.

Dans ce chapitre

• Probabilité d'un événement et somme des probabilités de classe de 5e
• Indépendance de deux événements et règle des produits de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli et espérance d'une variable aléatoire de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli : succès, échec et probabilité associée
• Loi binomiale d'une variable comptant des succès sur n épreuves
• Espérance et variance d'une variable binomiale
• Calcul de probabilités binomiales par les coefficients du binôme
• Probabilité d'un nombre exact de pièces non conformes
• Probabilité d'au moins un défaut dans un lot
• Probabilité d'un intervalle de non-conformité
• Plan d'échantillonnage et dimension d'un lot de contrôle
• Risque de refus du lot et arbitrage entre risque alpha et risque bêta
• Règle de décision d'un plan de contrôle statistique
• Bilan : Synthèse et méthode sur Risque de non-conformité et loi binomiale en contrôle qualité