Plan d'échantillonnage et dimension d'un lot de contrôle

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Plan simple (n\,;\,c) : on contrôle n pièces et l'on accepte le lot si le nombre de non-conformités est inférieur ou égal à c. • N = taille du lot, n = taille de l'échantillon ; le modèle binomial suppose n N/10. • On dimensionne n en cherchant le plus petit entier tel que 1 - (1 - p)^n t (test de deux entiers consécutifs). • Sans remise, le modèle binomial reste une approximation : il sous-estime un peu la probabilité de détection.

Le cours

1. Un plan de contrôle est un couple de nombres Un plan d'échantillonnage se résume en deux nombres : n, la quantité de pièces contrôlées, et c, le nombre de non-conformités au-delà duquel le lot est refusé. Le reste du plan — quand contrôler, dans quel ordre — relève de la méthode, pas du calcul. • Plan simple noté (n\,;\,c) : on contrôle n pièces, on accepte le lot si le nombre de non-conformités est inférieur ou égal à c. • N est la taille du lot livré, n celle de l'échantillon contrôlé : les deux nombres ne se confondent jamais. • Le prélèvement se fait au hasard et de façon représentative : début, milieu et fin de série. • Le modèle binomial suppose n N/10 : les pièces prélevées peuvent alors être traitées comme indépendantes. 2. Choisir la dimension de l'échantillon Le responsable qualité ne choisit pas n au hasard : il part d'un objectif chiffré, par exemple la probabilité de détecter au moins un défaut, puis il cherche le plus petit n qui l'atteint. • Objectif typique : 1 - (1 - p)^n t, où t est la probabilité de détection visée par le plan. • On cherche n dans une table de valeurs de la calculatrice, on teste deux entiers consécutifs, et l'on retient le plus petit qui convient. • On vérifie enfin le coût : 149 cartes sur 3\,000 demandent un temps de contrôle maîtrisé, alors que 3\,000 cartes ne sont pas contrôlables. Lot livré N = 3 000 cartes p = 2 % Échantillon n = 149 cartes vérifiées Décision du responsable qualité Le prélèvement est réparti sur tout le lot, et n reste bien inférieur à N / 10. On accepte le lot si le nombre de non-conformités est inférieur ou égal à c. 3. Le piège du prélèvement sans remise • Sans remise, la probabilité de ne trouver aucun défaut dans 20 pièces prélevées dans un lot de 100 pièces dont 3 sont défectueuses vaut exactement 0,5081, et non (1 - p)^n = 0,5438 avec p = 0,03. • Le modèle binomial sous-estime la probabilité de détection : sans remise, une pièce conforme déjà prélevée laisse une proportion de défauts un peu plus forte. • Plus l'échantillon est petit devant le lot, plus l'écart est faible : c'est toute la raison de la règle n N/10.

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