Épreuve de Bernoulli et espérance d'une variable aléatoire de classe de Première

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Loi d'une variable aléatoire discrète finie : tableau des couples (valeur, probabilité), les probabilités ayant pour somme 1. • Espérance : E(X) = _i x_i p_i, moyenne pondérée par les probabilités. • Une espérance fractionnaire est normale : elle est une moyenne, pas une valeur observée. • Épreuve de Bernoulli : deux issues de probabilités p et 1 - p ; la variable indicatrice associée a pour espérance E(X) = p.

Le cours

1. Variable aléatoire discrète finie et loi de probabilité Le service qualité ne suit pas une carte, il suit un nombre : le nombre de cartes non conformes dans un échantillon, le nombre de réimpressions d'une commande, le nombre de réclamations reçues. Une variable aléatoire discrète finie prend ses valeurs dans un ensemble fini, et sa loi associe à chaque valeur la probabilité correspondante. • Loi de probabilité : à chaque valeur x_i on associe p_i, avec _i p_i = 1. • Espérance : E(X) = _i x_i p_i, c'est-à-dire la moyenne des valeurs pondérée par les probabilités. • L'espérance n'est pas une valeur prise par X : elle peut être fractionnaire et n'apparaître dans aucune réalisation. Nombre de cartes non conformes xProbabilité p 00,62 10,28 20,10 2. Le cas particulier de l'épreuve à deux issues Contrôler une seule carte ne laisse que deux issues possibles : la carte est non conforme, ou elle ne l'est pas. Une telle expérience s'appelle une épreuve de Bernoulli de paramètre p, où p est la probabilité de non-conformité. • Issue favorable (le succès) : la carte est non conforme, de probabilité p. • Issue défavorable (l'échec) : la carte est conforme, de probabilité 1 - p. • Si l'on code X = 1 pour un succès et X = 0 pour un échec, alors E(X) = p : l'espérance redonne directement le taux de non-conformité. 3. Trois erreurs de lecture de l'espérance • Croire que l'espérance sera observée : elle est une moyenne, pas une réalisation. • Confondre E(X) avec une probabilité : pour la loi du tableau, E(X) = 0 0,62 + 1 0,28 + 2 0,10 = 0,48 est un nombre moyen de cartes ; une espérance peut d'ailleurs dépasser 1. • Croire que, sur quelques contrôles, la proportion de cartes défectueuses vaut exactement p = E(X) : elle fluctue autour de p et ne s'en rapproche que lorsque le nombre de contrôles devient grand.

Dans ce chapitre