Espérance et variance d'une variable binomiale

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• E(X) = np : nombre moyen de non-conformités sur n pièces contrôlées. • V(X) = np(1 - p) en pièces au carré, (X) = np(1 - p) en pièces. • E est une moyenne, éventuellement fractionnaire ; mesure la dispersion autour d'elle. • Pour un effectif n fixé, V(X) est maximale lorsque p = 0,5 : ici p est faible, la dispersion reste modérée.

Le cours

1. Deux formules qui résument tout un plan de contrôle Pour une variable binomiale de paramètres (n\,;\,p), l'espérance et la variance s'écrivent sans aucun calcul de probabilités individuelles. Ce sont elles qui permettent de dimensionner un plan de contrôle avant même de choisir le nombre de pièces à examiner. • E(X) = np : nombre moyen de cartes non conformes dans un échantillon de n cartes. • V(X) = np(1 - p) : variance, exprimée en pièces au carré. • (X) = np(1 - p) : écart-type, exprimé en pièces. • Ces trois grandeurs ne dépendent pas de l'ordre des épreuves : seul le décompte final compte. 2. Lire un écart-type dans un contexte de production Le client d'une ligne d'impression ne se plaint pas seulement du nombre moyen de défauts : il se plaint des livraisons irrégulières. C'est la dispersion, mesurée par l'écart-type, qui décrit cette irrégularité. • E(X) = np est une moyenne : n = 100 et p = 0,03 donnent E(X) = 3, jamais « exactement 3 défauts ». • (X) indique l'ordre de grandeur de l'écart entre le nombre observé et le nombre moyen, sans garantir aucun seuil de décision. • Deux lignes qui produisent la même moyenne peuvent avoir des écarts-types très différents : c'est la régularité qui est mesurée, pas la moyenne seule. Ligne de production, lots de 500 cartespE(X)V(X)(X) Ligne A0,02109,803,13 Ligne B0,042019,204,38 Ligne C0,084036,806,07 3. Unités et lectures trompeuses • Confondre variance et écart-type : V(X) s'exprime en pièces au carré, (X) en pièces ; c'est que l'on compare à un nombre moyen de défauts. • Exiger un entier : E(X) = 0,06 est une moyenne, pas un comptage de cartes. • Utiliser V(X) comme une probabilité : une variance n'est pas une probabilité et ne se compare jamais à 1.

Dans ce chapitre

• Probabilité d'un événement et somme des probabilités de classe de 5e
• Indépendance de deux événements et règle des produits de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli et espérance d'une variable aléatoire de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli : succès, échec et probabilité associée
• Loi binomiale d'une variable comptant des succès sur n épreuves
• Espérance et variance d'une variable binomiale
• Calcul de probabilités binomiales par les coefficients du binôme
• Probabilité d'un nombre exact de pièces non conformes
• Probabilité d'au moins un défaut dans un lot
• Probabilité d'un intervalle de non-conformité
• Plan d'échantillonnage et dimension d'un lot de contrôle
• Risque de refus du lot et arbitrage entre risque alpha et risque bêta
• Règle de décision d'un plan de contrôle statistique
• Bilan : Synthèse et méthode sur Risque de non-conformité et loi binomiale en contrôle qualité