Loi binomiale d'une variable comptant des succès sur n épreuves

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• X B(n\,;\,p) compte les succès sur n épreuves indépendantes de probabilité p. • P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k, pour k = 0\,;\,1\,;\,\,;\,n. • n est la taille de l'échantillon contrôlé, p le taux de non-conformité, k le nombre cherché. • nk compte les placements, p^k et (1 - p)^n - k pèsent les issues.

Le cours

1. Compter les succès sur n épreuves Le contrôleur prélève un échantillon de n cartes dans un lot, vérifie chacune indépendamment, puis compte les non-conformités. Cette variable aléatoire, notée X, ne prend que les valeurs 0, 1, , n : sa loi s'appelle la loi binomiale de paramètres (n\,;\,p). • X B(n\,;\,p) : nombre de succès obtenus sur n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune de probabilité p. • P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k pour k = 0\,;\,1\,;\,\,;\,n. • Le coefficient nk compte les façons de répartir les k succès parmi les n épreuves, p^k pèse ces succès et (1 - p)^n - k pèse les échecs. • Les probabilités de la loi ont une somme égale à 1 : toute la probabilité est répartie sur \0\,;\,1\,;\,\,;\,n\. k10kP(X = k) pour p = 0,10 010,3487 1100,3874 2450,1937 31200,0574 42100,0112 52520,0015 62100,0001 7 à 10—moins de 0,0001 2. Poser les trois nombres avant de calculer Presque toutes les erreurs de ce chapitre viennent d'un n, d'un p ou d'un k mal identifié. Le responsable qualité les écrit donc tous les trois avant de prendre la calculatrice. • n : le nombre de cartes contrôlées dans l'échantillon, et non la taille N du lot livré. • p : le taux de non-conformité, lu dans le dossier ou estimé sur un contrôle récent. • k : le nombre de non-conformités qui intéresse le responsable qualité. • Ensuite seulement : P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k. 3. Trois erreurs de mise en œuvre • Confondre n et N : contrôler 20 cartes dans un lot de 3\,000 donne n = 20. • Oublier le coefficient nk : le produit p^k (1 - p)^n-k ne correspond qu'à un placement précis des succès, pas à tous les placements. • Appliquer la loi à des épreuves dépendantes : deux pièces prélevées sans remise dans un petit lot ne sont plus indépendantes, l'hypothèse du chapitre n'est plus vraie.

Dans ce chapitre