Bilan : Synthèse et méthode sur Risque de non-conformité et loi binomiale en contrôle qualité

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Méthode : lire p, identifier (n\,;\,c), définir X B(n\,;\,p), calculer, puis décider. • P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k et P(X 1) = 1 - (1 - p)^n. • E(X) = np, V(X) = np(1 - p), (X) = np(1 - p). • = P(X c + 1) en p_0 et = P(X c) en p_1 : les deux risques sont chiffrés avant la décision.

Le cours

1. La méthode complète, en cinq étapes Face à un problème de contrôle qualité, l'ordre des opérations est fixe. Le résultat obtenu à la quatrième étape permet de justifier le plan lui-même, ce que le fournisseur et le client demandent toujours. • 1. Lire le taux réel : transformer le dossier fournisseur en probabilité p. • 2. Identifier l'échantillon : n pièces contrôlées, et le seuil c retenu par le plan (n\,;\,c). • 3. Définir la variable : X est le nombre de non-conformités, de loi B(n\,;\,p) si n N/10. • 4. Calculer : P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k, puis cumuler ou passer par le contraire. • 5. Décider : = P(X c + 1) en p_0, = P(X c) en p_1, puis appliquer la règle à la valeur observée de X. 2. Les quatre formules à avoir sous la main Une fois la méthode appliquée, le calcul tient en quatre écritures. Les connaître par cœur évite les hésitations sur un sujet où le temps est court. • Loi d'un nombre exact : P(X = k) = nk p^k (1 - p)^n - k. • Au moins un défaut : P(X 1) = 1 - (1 - p)^n. • Moyenne et dispersion : E(X) = np, V(X) = np(1 - p), (X) = np(1 - p). • Risques du plan : = P(X c + 1) en p_0, = P(X c) en p_1, avec P_a(p) = P(X c). Taux réel p du lot contrôlé0,010,020,030,050,080,10 P_a(p) = P(X 3) pour le plan (80\,;\,3)0,99130,92310,78070,42840,10890,0353 3. Les quatre erreurs qui coûtent le plus cher • Confondre la taille du lot N et celle de l'échantillon n : le calcul est alors faussé d'un facteur considérable. • Calculer et avec le même p : aucun des deux nombres ne correspond à un risque réel. • Oublier l'événement contraire pour « au moins un défaut » : additionner P(X = 1) + + P(X = n) est interminable, alors que 1 - (1 - p)^n donne le résultat en une ligne. • Décider sur l'espérance np plutôt que sur le décompte observé : on accepterait ou refuserait des lots sans jamais les examiner. 4. Ce que le responsable qualité doit pouvoir dire • « Avec ce plan et 80 cartes contrôlées, un lot conforme au contrat est refusé dans 7,69\ \% des cas. » • « Un lot à 10\ \% de non-conformités passe encore le contrôle dans 3,53\ \% des cas. » • « Le plan a été renforcé parce que ces deux risques dépassaient les exigences du contrat ; le coût du contrôle a augmenté d'autant. » • Un plan de contrôle ne prouve rien : il rend un risque explicite, chiffré et assumé devant le client et le fournisseur.

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