Règle de décision d'un plan de contrôle statistique

Terminale Technologique · Mathématiques STMG Terminale

À retenir

• Règle : on accepte si X c, on refuse si X c + 1, seuil fixé avant le contrôle. • = P(X c + 1) avec p = p_0 et = P(X c) avec p = p_1. • Choisir c revient à choisir : on teste les valeurs successives jusqu'à l'exigence du client. • On ne décide jamais sur E(X) mais sur le décompte X réellement observé.

Le cours

1. La règle de décision tient en une phrase Une fois l'échantillon contrôlé, le responsable qualité ne dispose que d'un nombre : X, le nombre de non-conformités trouvées. Le plan convertit ce nombre en décision, et cette conversion est fixée avant le contrôle. • On accepte le lot si X c, on le refuse si X c + 1. • Le seuil c est fixé avant le contrôle : le changer après le comptage donne un risque annoncé sans valeur. • Le risque vaut P(X c + 1) avec p = p_0, et le risque vaut P(X c) avec p = p_1. • Les deux événements sont disjoints et couvrent tous les cas : et dépendent du même seuil. 0 0,05 0,10 0,15 0 1 p₀ = 0,02 : α = 1 − 0,922 ≈ 0,078 p₁ = 0,10 : β ≈ 0,112 Probabilité d'accepter le lot Taux réel de non-conformités p, plan (50 ; 2) 2. Justifier le seuil avant le contrôle Choisir c revient à choisir : on parcourt les valeurs successives et l'on s'arrête à la première qui respecte l'exigence du client. La courbe d'efficacité résume ce travail. • Table de décision du plan (50\,;\,2) : X = 0, 1 ou 2 conduit à l'acceptation, X 3 au refus. • Un seuil c trop petit pénalise le fournisseur : devient grand et des lots conformes sont refusés. • Un seuil c trop grand protège mal le client : devient grand et des lots vraiment mauvais passent. • Sur la courbe, plus le taux réel p augmente, plus la probabilité d'acceptation décroît. Taux réel p du lot0,010,020,040,060,080,100,15 P_a(p) = P(X 2) pour le plan (50\,;\,2)0,98620,92160,67670,41620,22600,11170,0142 3. Erreurs de décision les plus fréquentes • Décider à partir de la moyenne E(X) = np et non du décompte observé : c'est le nombre réellement trouvé qui déclenche la règle. • Oublier le « au plus » : le plan (50\,;\,2) accepte le cas X = 2, alors que le plan (50\,;\,1) le refuse. • Changer le seuil après avoir vu le résultat : le risque annoncé n'a alors plus aucun sens statistique.

Dans ce chapitre

• Probabilité d'un événement et somme des probabilités de classe de 5e
• Indépendance de deux événements et règle des produits de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli et espérance d'une variable aléatoire de classe de Première
• Épreuve de Bernoulli : succès, échec et probabilité associée
• Loi binomiale d'une variable comptant des succès sur n épreuves
• Espérance et variance d'une variable binomiale
• Calcul de probabilités binomiales par les coefficients du binôme
• Probabilité d'un nombre exact de pièces non conformes
• Probabilité d'au moins un défaut dans un lot
• Probabilité d'un intervalle de non-conformité
• Plan d'échantillonnage et dimension d'un lot de contrôle
• Risque de refus du lot et arbitrage entre risque alpha et risque bêta
• Règle de décision d'un plan de contrôle statistique
• Bilan : Synthèse et méthode sur Risque de non-conformité et loi binomiale en contrôle qualité