Rapports trigonométriques dans le triangle rectangle de classe de 3e

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• = adjhyp, = opphyp, = oppadj dans un triangle rectangle. • Le rapport se fait sur la longueur de l'hypoténuse pour le cosinus et le sinus, sur la longueur du côté adjacent pour la tangente. • Les deux angles aigus d'un triangle rectangle sont complémentaires : + = 90^. • Angle mesuré depuis la verticale plutôt que depuis l'horizontale : le cosinus et le sinus s'échangent, et la tangente est remplacée par son inverse.

Le cours

1. Les trois rapports du triangle rectangle Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l'angle droit est le plus long : on l'appelle hypoténuse. Pour un angle aigu placé dans ce triangle, on note adj la longueur du côté qui touche sans être l'hypoténuse, et opp celle du côté qui ne touche pas . Les rapports trigonométriques sont alors, par définition : • = adjhyp : le rapport de l'adjacente à l'hypoténuse. • = opphyp : le rapport de l'opposée à l'hypoténuse. • = oppadj = /. • 0^ 2. Mesurer l'angle depuis l'horizontale ou depuis la verticale Sur un plan de montage, l'inclinaison se lit tantôt par rapport à l'horizontale, tantôt par rapport à la verticale. Ce choix décide de la formule : l'angle est mesuré depuis une direction, donc le projeté sur cette direction est le côté adjacent, et le projeté sur la direction perpendiculaire est le côté opposé. • Angle mesuré depuis l'horizontale : la longueur horizontale est adj, la hauteur est opp. • Angle mesuré depuis la verticale : la hauteur est adj, la longueur horizontale est opp. • Un angle de 90^ correspond à une direction perpendiculaire à l'axe de référence : c'est le contrôle qui révèle une confusion. Organe de la machineDonnées de l'épureRapport utiliséValeur Rampe de manutentionPente de 3,2\ m, dénivelé 1,25\ m = 1,253,2 23,0^ Vérin inclinéTige de 600\ mm à 40^ de l'horizontalehauteur = 600 40^385,7\ mm Came d'attaqueRayon de 150\ mm, angle d'attaque 30^course = 150 30^129,9\ mm 3. La méthode en quatre gestes • 1. Dessiner le triangle rectangle et marquer l'angle droit par un petit carré. • 2. Placer le nom de l'angle sur le sommet qui le porte. • 3. Nommer les trois côtés : hypoténuse (côté de l'angle droit), adjacent, opposé. • 4. Écrire le rapport, puis seulement utiliser la calculatrice ; à la fin, contrôler avec le théorème de Pythagore. 4. Les deux pièges qui coûtent un point • Confondre sinus et tangente. Une rampe longue de 2,50\ m qui monte de 1,05\ m donne = 1,052,50 = 0,42 ; la pente, elle, est = hauteurlongueur horizontale 0,46. Ce ne sont pas les mêmes rapports. • Inverser cos et sin. Si l'angle est mesuré depuis la verticale, c'est le cosinus qui donne la hauteur. Le remède : remplacer l'angle par son complément, par exemple 63^ au lieu de 27^. • Oublier l'unité. Un rapport trigonométrique est un nombre sans unité ; la longueur obtenue reprend l'unité de l'hypoténuse.

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