Fonctions trigonométriques définies sur le cercle trigonométrique

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Sur le cercle trigonométrique de rayon 1 : = x_M et = y_M. • La relation fondamentale ^2 + ^2 = 1 se déduit de x_M^2 + y_M^2 = 1. • Pour un bras de longueur r qui pivote : x = r et y = r. • Le signe se lit sur le quadrant : le cosinus est positif à droite de l'axe vertical, le sinus au-dessus de l'axe horizontal.

Le cours

1. Le cercle trigonométrique On considère le cercle de centre O et de rayon 1, muni des deux axes perpendiculaires (Ox) et (Oy) : c'est le cercle trigonométrique. Pour un point M de ce cercle, on note l'angle orienté entre la demi-droite (Ox) et la demi-droite [OM). Par définition, les deux fonctions trigonométriques se lisent directement sur le cercle. • Cosinus : l'abscisse de M, donc = x_M. • Sinus : l'ordonnée de M, donc = y_M. • Tangente : = y_M/x_M = /, définie seulement pour x_M 0. • Relation fondamentale : x_M^2 + y_M^2 = 1, soit ^2 + ^2 = 1. 0° 30° 60° 90° 120° 150° 180° 210° 270° 300° 50° cos 50° sin 50° O M 2. Ce que le cercle permet de lire Le point M parcourt le cercle quand l'angle augmente : on lit le signe des deux fonctions selon le quadrant. Sur les axes, l'une des deux s'annule : 0^ = 180^ = 0 et 90^ = 270^ = 0. QuadrantAngle Premier0^ positifpositif Deuxième90^ négatifpositif Troisième180^ négatifnégatif Quatrième270^ positifnégatif 3. Du cercle à la machine • Un bras de longueur r qui pivote d'un angle aboutit en un point de coordonnées x = r et y = r : on multiplie les fonctions du cercle trigonométrique par la longueur réelle. • Le rayon vaut 1 seulement sur le cercle trigonométrique : pour un tourillon placé à 200\ mm de l'axe, l'ordonnée vaut 200 millimètres, et non . • x_M^2 + y_M^2 = 1 devient x^2 + y^2 = r^2 : c'est le théorème de Pythagore appliqué au bras, et c'est le meilleur contrôle d'un calcul de trigonométrie. 4. Pièges de lecture du cercle • Inverser abscisse et ordonnée. Le cosinus se lit à l'horizontale, le sinus en verticale ; un point situé au-dessus de l'axe horizontal a un sinus positif. • Chercher un point du cercle hors du cercle. Un couple (x,y) vérifie x^2 + y^2 = 1 : tant que ce n'est pas vrai, il ne décrit aucun point du cercle trigonométrique. • Oublier le signe. Sur un tour, le sinus n'est strictement positif que pour 0^ < < 180^ ; après un tour complet, les signes se reproduisent à l'identique.

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