Bilan : Synthèse et méthode sur Trigonométrie et produit scalaire appliqués aux systèmes mécaniques

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• Triangle rectangle : trigonométrie et Pythagore ; angles quelconques, orthogonalité et composantes : produit scalaire. • uv = OA^2 + OB^2 - AB^2/2 donne un angle connu par trois longueurs. • uv uv = 0, vecteurs non nuls. • Projeté : p = ui avec i unitaire, et p^2 + p_^2 = \|u\|^2. • Régime : f = n/60 puis = 2 f en rad·s^-1.

Le cours

1. La chaîne complète, de l'épure à l'angle Quatre étapes suffisent pour traiter la quasi-totalité des problèmes de géométrie posés sur un plan de STI2D : identifier les grandeurs, choisir l'outil, calculer, contrôler. • 1. Identifier. Repérer le repère du plan, les axes, les vecteurs en jeu et les angles demandés : angle d'un bras, composante d'un effort ou orthogonalité. • 2. Choisir l'outil. Triangle rectangle et trigonométrie pour une longueur et un angle ; produit scalaire pour une orthogonalité, un projeté ou un angle connu par trois longueurs. • 3. Calculer. Écrire la relation, puis poser les nombres dans la même unité, et faire le calcul par étapes successives. • 4. Contrôler. Ordre de grandeur, signe attendu, Pythagore ou p^2 + p_^2 = \|u\|^2, et valeur exacte lorsque l'angle est remarquable. 2. Le triangle de forces : le produit scalaire donne les efforts Quand trois forces concourantes s'exercent sur une pièce en équilibre, la somme de leurs vecteurs est nulle. Si deux de ces forces sont orthogonales, leur produit scalaire est nul et l'on peut projeter l'équilibre sur chacune des deux directions : on obtient alors chaque intensité directement avec un produit scalaire. 30° P = 100 N R = 86,6 N T = 50 N Question posée sur le planOutilRelationContrôle Angle d'un bras dans un triangle rectangleTrigonométrie = opphyp(opp)^2 + (adj)^2 = (hyp)^2 Longueur dans un triangle rectangle, sans angle connuThéorème de Pythagorec^2 = a^2 + b^2Résultat plus grand que le plus grand côté Régime d'un moteurConversion = 2 f avec f = n/60Un tour vaut 6,28\ rad Angle connu par trois longueursProduit scalaire = OA^2 + OB^2 - AB^2/2\,OA\,OB-1 1 Composante d'un effort sur un axeProjetép = uip^2 + p_^2 = \|u\|^2 Orthogonalité de deux directionsProduit scalaireuv = x_1x_2 + y_1y_2Résultat nul avec vecteurs non nuls 3. Les cinq réflexes de vérification • Unité d'abord. Un produit scalaire a pour unité le produit des unités (mm^2, Nm), la composante d'un effort s'exprime en newtons, un angle en degrés ou en radians : une incohérence se voit immédiatement. • Signe attendu. Un effort projeté contre le mouvement donne un projeté négatif ; un angle obtus donne un produit scalaire négatif. • Pythagore partout. x^2 + y^2 = r^2, p^2 + p_^2 = \|u\|^2 : ce contrôle détecte presque toutes les erreurs de calcul. • Valeur exacte. Si l'angle était remarquable, le résultat doit être une valeur connue : 32, 1/2, 22 ou 1. • Limite physique. Une composante ne peut pas dépasser la norme de l'effort, et un cosinus ne peut pas sortir de l'intervalle [-1\,;\,1].

Dans ce chapitre