Calcul d'un angle entre deux directions industrialisées

1ère Technologique · Mathématiques STI2D 1ère

À retenir

• = uv\|u\|\,\|v\| puis = (), avec 0^ 180^. • L'arccosinus donne l'angle géométrique ; pour situer une direction au-dessus ou au-dessous de l'horizontale, on regarde le signe de l'ordonnée. • L'angle entre AB et BC et l'angle intérieur ABC sont supplémentaires. • Le signe du produit scalaire indique déjà la nature de l'angle : aigu, droit ou obtus.

Le cours

1. Une seule formule pour tous les angles d'un plan Sur un plan de transmission, deux directions industrialisées sont représentées par des vecteurs. Le produit scalaire des deux vecteurs donne directement le cosinus de l'angle qui les sépare, et l'arccosinus rend l'angle. Trois lignes suffisent. • = uv\|u\|\,\|v\| = x_1x_2 + y_1y_2x_1^2+y_1^2x_2^2+y_2^2 • = (uv\|u\|\,\|v\|) avec 0^ 180^ • Le signe du produit scalaire annonce la nature de l'angle avant tout calcul : positif, angle aigu ; nul, angle droit ; négatif, angle obtus. θ A B C O AB BC 2. Angle entre deux vecteurs et direction repérée L'arccosinus rend toujours un angle compris entre 0^ et 180^ : c'est l'angle géométrique entre les deux vecteurs, sans sens de rotation. Pour repérer la direction d'une pièce par rapport à l'horizontale, il faut en plus savoir si elle est au-dessus ou au-dessous de l'axe : deux directions symétriques par rapport à l'axe ont le même cosinus. • (60^) = (-60^) = 0,5 : l'arccosinus rend dans les deux cas 60^, mais les deux directions sont différentes. • Critère 1 : le signe de l'ordonnée (ou du sinus). Ordonnée positive : direction au-dessus de l'axe, angle +60^ ; ordonnée négative : au-dessous, angle -60^, soit 300^ dans le sens direct. • Critère 2 : le dessin. Sur un plan de liaison, la position de la pièce sur le croquis confirme le choix. 3. Méthode en quatre gestes • 1. Choisir des vecteurs qui partent du même point et qui sont dirigés dans le sens réel du mouvement ou de la force. • 2. Calculer le produit scalaire, puis les deux normes, puis le rapport. • 3. Appliquer l'arccosinus et se placer dans l'intervalle [0^\,;\,180^]. • 4. Trancher le cas de l'angle ambigu avec le signe de l'ordonnée, puis contrôler que l'angle obtenu est cohérent avec le dessin. 4. Pièges de lecture des directions • Inverser le sens d'un segment. L'angle entre AB et BC et l'angle intérieur ABC de l'assemblage sont supplémentaires (somme 180^) : sur une articulation, c'est souvent ce second angle qui est utile. • Donner 60^ là où il faut 300^. L'arccosinus ne rend jamais un angle négatif : un sens de rotation horaire doit être signalé par une convention, pas par un angle négatif. • Mélanger les unités dans un même vecteur. Une abscisse en millimètres et une ordonnée en mètres changent la direction du vecteur, donc l'angle : toutes les coordonnées d'un même vecteur doivent être dans la même unité.

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